Finden Sie das Volumen des entstandenen Drehkörpers

Question

Es gibt ein Parabel y=(1/2)x²+1 und eine Gerade 2y=5x-2. Diese Körper rotieren sich um die y-Achse. Die Schnittpunkten sind S(1/1.5) und S(4/9). Das Ergebnis soll 8.19pi sein.

Comments

Hast du diese Frage nicht schon einmal gestellt. Bitte Nachfragen bei den bereits vorhandenen Antworten. Übersicht über deine bisherigen Fragen: https://www.mathelounge.de/user/mathe421/questions Da fällt auf, dass du noch keinen Stern vergeben hast. Das macht den Eindruck, dass dir die Antworten gar nichts bringen und ist nicht gerade motivierend. Erkläre bitte jeweils genau, was du nicht verstehst.

Answer 1

Wenn die Parabel bei ihrer Rotation genau eine halbe Drehung gemacht hat, wird sie quasi an der x-Achse gespiegelt und hat dann die Gleichung y=-0,5x²-1

Die Gerade 2y=5x-2 kann auch als y=2,5x-1 geschrieben werden.

Diese beiden Graphen schneiden sich AUCH an der Stelle x=0.

Hast du das berücksichtigt?

Comments

Ja aber das Ergebnis ist noch nicht richtig

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Eine Parabel und eine Gerade schneiden sich maximal an zwei Stellen. Bitte nochmals kontrollieren. Irgendwo ist ein Fehler, wenn ihr 3 Schnittstellen habt.

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Schnittstellen x1 = 1 und x2 = 4 stimmen. Die Schnittstelle bei x= 0 sehe ich im Graphen nicht.

~plot~ (1/2)x^2+1; 2.5x-1;x=1;x=4 ~plot~

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Leider war ich nicht so klar, ich habe nur zwei Schnittpunkten gefunden. Aber ich weiß nicht wie ich das Volumen berechnen soll weil wenn ich die Punkte dabei ersetze, ist das Ergebnis falsch

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~plot~ (1/2)x^2+1;2,5x-1;x=1;x=4 ~plot~

Nimm z.B. den Rechenweg von Mathecoach. Die Quadrate der Umkehrfunktionen lassen sich hier einfach bestimmen. Danach Integration dy mit y von 1.5 bis 9.

Alternative

Du kannst aber auch mit der Formel für die Rotation um die y-Achse arbeiten. Dann ist Integration dx und sind die Grenzen für x sind 1 und 4.

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abakus lässt die Kurve um die x-Achse rotieren.

Wenn die Parabel bei ihrer Rotation genau eine halbe Drehung gemacht hat, wird sie quasi an der x-Achse gespiegelt und hat dann die Gleichung y=-0,5x²-1

Dafür kann ich aber in der Fragestellung keinen Grund erkennen. Der Mathecoach hat das mE inzwischen den richtigen Rechenweg benutzt. Bist du sicher, dass das vorgegebene Resultat stimmt und hast du die Aufgabe buchstabengetreu abgeschrieben?

https://de.wikipedia.org/wiki/Rotationskörper#Rotation_um_die_y-Achse

Answer 2

y = 1/2·x^2 + 1 → x^2 = 2·y - 2

2·y = 5·x - 2 --> x^2 = (0.4·y + 0.4)^2 = 0.16·y^2 + 0.32·y + 0.16

V = ∫ (1.5 bis 9) (pi·((2·y - 2) - (0.16·y^2 + 0.32·y + 0.16))) dy = 11.25·pi

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Sind die von mathe412 vorgegebenen Resultate häufig falsch?

Schon mal Pluspunkt für deinen Rechenweg von mir.