Aloha :)
Die Konstanten \(a\) und \(b\) hast du korrekt bestimmt.
~plot~ 3/8*x^2 ; 1/4*x^2+2 ; [[-5|5|0|8]] ; {4|6} ; {-4|6} ~plot~
Wir bestimmen die Rotationsvolumina von \(\blue{y_1(x)=\frac38x^2}\) und \(\red{y_2(x)=\frac14x^2+2}\).
Bei der Rotation einer der beiden Funktion \(y(x)\) um die \(y\)-Achse im Intervall \(x\in[0;4]\) entsteht auf der "Höhe" \(y(x)\in[0;6]\) ein Kreis mit Radius \(r=x\). Die Fläche dieses Kreises ist \(\pi r^2=\pi x^2\). Diese Kreise summieren sich zum gesamten Rotationsvolumen.
Das Rotationsvolumen der blauen Kurve ist daher:$$\blue{V_1}=\int\limits_{y(0)}^{y(4)}\pi\blue{x^2}\,dy=\pi\int\limits_0^6\blue{\frac83y}\,dy=\pi\left[\frac43y^2\right]_0^6=\pi\,\frac43\cdot36=48\pi$$
Das Rotationsvolumen der roten Kurve folgt analog:$$\red{V_2}=\int\limits_{y(0)}^{y^(4)}\pi\red{x^2}\,dy=\pi\int\limits_2^6\red{4\left(y-2\right)}dy=4\pi\left[\frac{y^2}{2}-2y\right]_2^6=4\pi\cdot(6-(-2))=32\pi$$
Wir müssen das rote Volumen aus dem blauen Volumen herausnehmen:$$V=V_1-V_2=16\pi$$
