Aloha :)
Die Tangente an die Kurve$$y_p=\frac{x^2}{2}+1$$an der Stelle \(x=2\) lautet mit \(y'_p(x)=x\):$$t(x)=y_p(2)+y'_p(2)\cdot(x-2)=3+2\cdot(x-2)=2x-1$$
~plot~ x^2/2+1 ; 2x-1 ; {2|3} ; [[0|4|-2|5]] ~plot~
Das von der Tangente \(t(x)\), von der Kurve \(y_p(x)\) und der \(y\)-Achse eingeschlossene Flächenstück rotiert um die \(y\)-Achse.
Von \(y=-1\) bis \(y=3\) entstehen dabei Außenkreise, deren Radius \(r_a\) durch die Tangente bestimmt wird. Dieser Radius ist der zu dem jeweiligen \(y\)-Werte passende \(x\)-Wert, den wir durch Bilden der Umkehrfunktion erhalten, also \(r_a=\frac{y+1}{2}\). Die Flächen \(\pi\,r_a^2\) dieser Kreise müssen wir entlang der \(y\)-Achse summieren.
Von \(y=1\) bis \(3\) bestimmt die Funktion \(y_p\) einen von Null verschiedenen Innenradius \(r_i\), den wir durch die Bildung der Umkehrfunktion zu \(y_p\), also durch \(r_i=\sqrt{2(y-1)}\) erhalten. Die bei der Rotation um die \(y\)-Achse entstehenden Flächen \(\pi\,r_i^2\) müssen wir entlang der \(y\)-Achse subtrahieren.
$$V=\int\limits_{-1}^3\pi\left(\frac{y+1}{2}\right)^2dy-\int\limits_1^3\pi\left(\sqrt{2(y-1)}\right)^2dy$$$$\phantom{V}=\frac{\pi}{4}\int\limits_{-1}^3(y+1)^2dy-2\pi\int\limits_1^3\left(y-1\right)dy=\frac{\pi}{4}\left[\frac{(y+1)^3}{3}\right]_{-1}^3-2\pi\left[\frac {y^2}{2}-y\right]_{1}^3$$$$\phantom{V}=\frac{\pi}{4}\left(\frac{64}{3}-0\right)-2\pi\left(\frac92-3-\frac12+1\right)=\frac{16}{3}\pi-4\pi=\frac43\pi$$
