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Aufgabe:

Die gegebenen Kegelschnitte schließen im 1. und im 4. Quadranten eine Fläche ein, die um die x-Achse rotiert. Berechne den Rauminhalt des entstandenen Drehkörpers:

ell: x^2 + 2y^2 = 36

hyp: 8x^2 - y^2 = 16

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Und was ist Dein Problem mit dieser Aufgabe?

blob.png

Sorry! Habe mich vertippt.

Die Fläche soll um die x-Achse rotieren.

Ich bräuchte einen kompletten Rechen- bzw. Lösungsweg für die Berechnung des Volumens.

Die Abbildung oben ist mir klar. Die habe ich schon mit der x-Achse. Danke!

Tschakabumba hat es mittlerweile korrigiert. Wenn es um die x-Achse rotiert, dann ist die Erwähnung des 4. Quadranten in der Aufgabe unnötig, um das aschenbecherförmige Ding mit dem grünen Querschnitt zu erhalten.

Ich würde das gesuchte Volumen als Differenz zweier Volumen ausrechnen. Die Grenzen sind x = 0 und x = 2 beim Minuenden und dann x = \( \sqrt{2} \) und x = 2 beim Subtrahenden.

Aber wie berechne ich denn die beiden Volumina, die ich dann voneinander abziehe?

Ist Dir diese Formel bekannt?

Ja, ich kenne diese Formel, aber ich weiß nicht, welche Wert ich bei diesem Beispiel einsetzen soll, da die beiden angegebenen Gleichungen Kreisgleichungen sind und ich nicht weiß wie ich "ein f(x)" daraus machen soll.

Das sind nicht Kreisgleichungen, sondern einmal eine Ellipse (in der Aufgabe "ell" genannt) und einmal eine Hyperbel (in der Aufgabe "hyp" genannt). Man sieht das bei meiner Skizze.

Ein y = f(x) machst Du daraus, indem Du sie nach y umstellst.

2 Antworten

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\(\displaystyle V= \pi \cdot \int\limits_{0}^{2}\left(\sqrt{(36-x^2)/2}\right)^2  \, dx -\pi \cdot \int\limits_{\sqrt{2}}^{2}\left(\sqrt{8x^2-16}\right)^2  \, dx \approx 95 \)

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Aloha :)

Ich habe die Situation mal von WolframAlpha zeichnen lassen:

blob.png

Daraus können wir folgendes Vorgehen ablesen.

1) Wir bestimmen den Schnittpunkt \((x_0|?)\) rechts oben.

2) Wir rotieren die Fläche unter der blauen Kurve im Intervall \([0;x_0]\) um die x-Achse.

3) Wir bestimmen die rechte Nullstelle \((x_1|0)\) der roten Kurve.

4) Wir rotieren die Fläche unter der roten Kurve im Intervall \([x_1;x_0]\) um die x-Achse.

5) Wir subtrahien das zweite Volumen vom ersten Volumen.

Bei der Rotation einer Funktion \(f(x)\) um die \(x\)-Achse entsteht an der Stelle \(x\) ein Kreis um die x-Achse, dessen Mittelpunkt auf der x-Achse liegt. Der Radius dieses Kreises ist gleich dem Funktionswert an der Stelle \(x\), d.h. \(r=f(x)\). Die bei der Rotation entstandene Fläche ist daher \(\pi\,r^2=\pi\,f^2(x)\).

Diese Kreisflächen müssen wir entlang der x-Achse summieren.

Wir fassen das Gesagte formal zusammen:$$V=\int\limits_0^{x_0}\pi f^2_{\text{blau}}(x)\,dx-\int\limits_{x_1}^{x_0}\pi f^2_{\text{rot}}(x)\,dx$$

Für die Funktionsgleichungen formen wir die beiden Kegelschnitt-Gleichugen um:

$$\color{blue}x^2+2y^2=36\implies y^2=\frac{36-x^2}{2}\implies f^2_{\text{blau}}(x)=18-\frac{x^2}{2}$$$$\color{red}8x^2-y^2=16\implies y^2=8x^2-16\implies f^2_{\text{rot}}(x)=8x^2-16$$

Den Schnittpunkt \((x_0\ge0)\) beider Funktion rechts oben im ersen Quadranten erhalten wir durch Gleichsetzen:$$18-\frac{x_0^2}{2}=8x_0^2-16\implies\frac{17}{2}x_0^2=34\implies x_0^2=4\implies x_0=2$$

Die rechte Nullstelle \((x_1\ge0)\) der roten Funktion ist offensichtlich: \(x_1=\sqrt2\).

Damit haben wir alles, um unsere Formel zu konkretisieren:$$V=\pi\int\limits_0^2\left(18-\frac{x^2}{2}\right)dx-\pi\int\limits_{\sqrt2}^2(8x^2-16)\,dx=\pi\left[18x-\frac{x^3}{6}\right]_0^2-\pi\left[\frac83x^3-16x\right]_{\sqrt2}^2$$$$\phantom V=\frac{104}{3}\pi-\frac{32(\sqrt2-1)}{3}\pi=\frac83\pi(13-4(\sqrt2-1))=\frac83\pi(17-4\sqrt2)\approx95,0281$$

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