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Aufgabe:

Das von der Parabel 1/6x^2, ihrer Normalen P(3/Y) und der x-Achse begrenzte Flächenstück im ersten Quadranten wird um x-Achse gedreht. Welchen Rauminhalt hat der Drehkörper?

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Hast du die normale schon bestimmt?

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Die Normale zur Kurve im Punkt P(3|y) ist vermutlich die Gerade, die orthogonal zur Tangente der Parabel im Punkt P(3|f(3)) verläuft. Also sieht es so aus:


Das Volumen des Rotatonskörpers kann aus zwei Teilstücken zusammengesetzt werden.

\(V_1\) entsteht durch Rotation der Parabel, \(V_2\) entsteht durch Rotation der Normalen.

\(V_1=\pi\int\limits_a^b(f(x))^2dx\)

Dabei ist \(f(x)=\frac{1}{6}x^2~~~;~~~a=0~~~;~~~b=3\)

\(V_1=\pi\int\limits_0^3(\frac{1}{6}x^2)^2dx\)

\(=\pi\int\limits_0^3(\frac{1}{36}x^4)dx\)

\(=\pi\cdot\left[\frac{1}{36}\cdot\frac{x^5}{5}\right]_0^3\)

\(=\pi\cdot\left[\frac{x^5}{180}\right]_0^3\)

\(=\pi\cdot\frac{3^5}{180}\)

\(=\frac{27}{20}\cdot \pi\)

\(V_1\approx 4.24115008235\) Volumeneinheiten


Für die Normale brauchst du die Tangentensteigung bei x=3, also die Ableitung.

\(f'(x)=\frac{1}{3}x\), also \(f'(3)=\frac{1}{3}\cdot 3=1\)

Die Normale \(g\) muss dann die Steigung \(m=-1\) haben.

\(g(x)=-x+b\)

\(g(3)=-3+b\)

\(g(3)=f(3)=1,5 \Rightarrow b=4,5\)


Die Gleichung der Normalen lautet \(g(x)=-x+4,5\)

Wenn der Geradenabschnitt rotiert entsteht ein Kegel mit \(r=1,5 ; h= 1,5\).

\(V_2=\frac{1}{3}\pi r^2 h =\frac{1}{3}\pi \cdot 1,5^2\cdot 1,5 =\frac{9}{8}\cdot\pi\approx3.53429173529\) Volumeneinheiten


\(V=V_1+V_2=\frac{27}{20}\pi+\frac{9}{8}\pi=\frac{99}{40}\pi=2,475\pi\)

\(\boxed{V\approx7.77544181763}\) Volumeneinheiten

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Puh das ist ja echt mal richtig ausführlich. Wo kommt denn bei dir die Normale vor?

Ich kann auch minimalistisch.  :-)

Im Ernst: Ich entwickle die Lösungen schrittweise und speichere die Änderungen zwischendurch.

Ich vermute dass die Normale an die Parabel im Punkt (3/f(3)) gemeint ist. Dann bräuchte man zwei Integrale.

~plot~1/6*x^2;-(x-3)+3/2~plot~

Die Idee hatte ich inzwischen auch. :-)

@Koffi: Ausführlich genug? ;-)

Wunderbar!!!

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Normalenberechnung
f  ( x ) = 1/6 * x^2,
f ( 3 ) = 1/6 * 9 = 1.5
Steigung
f´( x ) = 1/3 * x
f ´( 3 ) = 1
Steigung Normale
1 = - 1 / m
m = -1

( 3 | 1.5 )
m = -1
1.5 = -1 * 3 + b
b = 4.5

n ( x ) = - x + 4.5
Nullstelle
-x + 4.5 = 0
x = 4.5
Der DRehkörper kann als Kegel mit
r = 1.5
h = 4.5 - 3 = 1.5
berechnet werden

V = r^2 * pi * h / 3
V = 1.5^2 * pi * 1.5 / 3
V = 3.534

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