Die Normale zur Kurve im Punkt P(3|y) ist vermutlich die Gerade, die orthogonal zur Tangente der Parabel im Punkt P(3|f(3)) verläuft. Also sieht es so aus:
https://www.desmos.com/calculator/w23rqh7mt7
Das Volumen des Rotatonskörpers kann aus zwei Teilstücken zusammengesetzt werden.
\(V_1\) entsteht durch Rotation der Parabel, \(V_2\) entsteht durch Rotation der Normalen.
\(V_1=\pi\int\limits_a^b(f(x))^2dx\)
Dabei ist \(f(x)=\frac{1}{6}x^2~~~;~~~a=0~~~;~~~b=3\)
\(V_1=\pi\int\limits_0^3(\frac{1}{6}x^2)^2dx\)
\(=\pi\int\limits_0^3(\frac{1}{36}x^4)dx\)
\(=\pi\cdot\left[\frac{1}{36}\cdot\frac{x^5}{5}\right]_0^3\)
\(=\pi\cdot\left[\frac{x^5}{180}\right]_0^3\)
\(=\pi\cdot\frac{3^5}{180}\)
\(=\frac{27}{20}\cdot \pi\)
\(V_1\approx 4.24115008235\) Volumeneinheiten
Für die Normale brauchst du die Tangentensteigung bei x=3, also die Ableitung.
\(f'(x)=\frac{1}{3}x\), also \(f'(3)=\frac{1}{3}\cdot 3=1\)
Die Normale \(g\) muss dann die Steigung \(m=-1\) haben.
\(g(x)=-x+b\)
\(g(3)=-3+b\)
\(g(3)=f(3)=1,5 \Rightarrow b=4,5\)
Die Gleichung der Normalen lautet \(g(x)=-x+4,5\)
Wenn der Geradenabschnitt rotiert entsteht ein Kegel mit \(r=1,5 ; h= 1,5\).
\(V_2=\frac{1}{3}\pi r^2 h =\frac{1}{3}\pi \cdot 1,5^2\cdot 1,5 =\frac{9}{8}\cdot\pi\approx3.53429173529\) Volumeneinheiten
\(V=V_1+V_2=\frac{27}{20}\pi+\frac{9}{8}\pi=\frac{99}{40}\pi=2,475\pi\)
\(\boxed{V\approx7.77544181763}\) Volumeneinheiten
