Seien m, n, p ∈ N und A, B ∈ Matm,n(K) sowie C ∈ Matn,p(K). (i) Beweisen Sie (λA + μB)t = λAt + μBt für alle λ, μ ∈ K

Question

Aufgabe:

Seien m, n, p ∈ N und A, B ∈ Mat_m,n(K) sowie C ∈ Mat_n,p(K).
(i) Beweisen Sie (λA + μB)^t = λA^t + μB^t für alle λ, μ ∈ K.
(ii) Beweisen Sie (AC)^t = C^tA^t

Ich habe keine Ahnung was "(K)" ist und wofür m, n, p ∈ N (= Zahlen) hierzu (i) / (ii) nützlich sind; was sind λ und μ? Hat die Aufgabe hier mit Erwartungswert zu tun?

Ich bin absolut Ahnungslos. Bitte um Hilfe

Problem/Ansatz:

Lineare Algebra

Comments

Wenn ich Dir mal einen Ratschlag unabhängig von der Aufgabe geben darf: Wenn Deine Aussage

Ich bin absolut Ahnungslos.

in dem Umfang zutrifft, wie Du es beschrieben hast, so bedeutet das, das Du Dich überhaupt nicht mit Vorlesung / Lehrmaterial beschäftigt hast. So wirst Du nicht Mathematik studieren können.

Answer 1

Hallo

K ist der Körper in dem die Matrizen A mit m Zeilen und n Spalten leben. λ, μ

sind Zahlen aus K falls K=ℝ also reelle Zahlen.

Die Aufgabe hat nichts mit Erwartungswert zu tun, sondern mit Matrixrechnung.

lul

Answer 2

Das ,,K’’ in der Notation steht für den Körper, in dem die Einträge in den Matrizen liegen sollen.

Beispiel: Die (1x2)-Matrix M := (1 2) hat Einträge in den rationalen Zahlen, d.h. M ∈ Mat(1x2)(Q).

Die (1x3)-Matrix T := (1+i  1  5) hat dagegen Einträge in C (der Körper der komplexen Zahlen), d.h. T ∈ Mat(1x3)(C). ✔️

Zu a): Wähle o.E. m = n. D.h. seien A,B zwei quadratische Matrizen.

Es gilt A = (a_ij)_ij und B = (b_ij)_ij, wobei a_ij und b_ij jeweils alle aus K sind und i,j ∈ {1,…,n} die Indizies. Nun ist λA = (λa_ij)_ij, d.h. du multiplizierst das λ mit jedem einzelnen Eintrag (so ist die skalare Multiplikation bei Matrizen definiert). Dann ist (A+B) = (a_ij + b_ij)_ij (du addierst also alle Einträge komponentenweise, denn so ist die Matrizenaddition definiert). Ich hoffe damit kannst du jetzt schon a) zeigen.

b): Hier musst du überlegen wie die Matrizenmultiplikation definiert ist. Es hat was mit dem Skalarpodukt zu tun.

Comments

Vielen Dank

Ist Hoch "t" nicht die Transponirte Matrix? Und ist "C" nicht einfach eine dtritte Matrix?

Könnten Sie nicht einfach die Aufgabe (i) lösen? Aufg. (ii) ist Falk - Schema:

und wofür sind m, n, p ∈ N (= Zahlen) hierzu (i) / (ii) nützlich?

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@Txman: Wie begründest du, dass man ohne Einschränkung nur den Fall m=n betrachten muss? Das erscheint mir nicht mit akzeptablem Aufwand möglich.

(Im Übrigen ist mir auch unklar, inwiefern dieser Spezialfall leichter zu behandeln ist als der allgemeine Fall.)