Berechne den Erwartungswert vom Münzwurf

Question

Aufgabe:

Eine faire Münze werde 42-mal unabhängig geworfen. Am Anfang haben wir 100 Euro,
immer wenn Kopf fällt verlieren wir 1 Euro, wenn Zahl fällt gewinnen wir 1 Euro. Sei X die
Anzahl Euros, die wir am Ende des Spiels besitzen. Berechne den Erwartungswert von
X.

Problem/Ansatz:

Man kann sagen, dass

Wenn Kopf geworfen wird: \(\mathbb{P}(\{X =-1\})\)

Wenn Zahl geworfen wird: \(\mathbb{P}(\{X =1\})\)

Und dabei gilt: : \(\mathbb{P}(\{X =-1\})\) =  \(\mathbb{P}(\{X =1\})\) = \(\frac{1}{2}\)

Aber ich weiß nicht wie man das mit Formel für den Erwartungswert berechen soll.

Über Hilfe würde ich mich freuen.

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auch bekannt als "random walk"

Answer 1

p(Kopf) = 0,5

p(Zahl) = 0,5

EW= 0,5*1 + 0,5*(-1) = 0

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Falsch, Aufgabenstellung nicht beachtet.

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Wir erwarten (wie oben berechnet) einen Gewinn/Verlust (G) von 0 Euro pro Spiel.

Wenn wir mit 100 Euro starten und dann 42 mal ein erwarteter Gewinn von 0 dazu kommt, haben wir am Ende einen Erwartungswert von 100 Euro nach 42 Spielen.

100 + 42·E(G) = 100 + 42·0 = 100 Euro

Answer 2

Beachte, es wird 42mal geworfen. Laut Spielregeln ist dann \(P(X=i)=0\) für alle \(i\le 57\) , d.h. im schlimmsten Fall kommt man mit 58€ raus. Das passiert, wenn 42mal Kopf fällt. Also haben wir schonmal \(P(X=58)=0.5^{42}\). Der Fall 42mal Zahl liefert \(P(X=142)=0.5^{42}\). Finde nun die Zwischenwerte und damit dann den Erwartungswert.

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Was ist denn mit Zwischenwerte gemeint? Also z.B 41-mal Kopf und 1 mal- Zahl?

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Beachte, es wird 42mal geworfen. Laut Spielregeln ist dann \(P(X=i)=0\) für alle \(i\le 57\) , d.h. im schlimmsten Fall kommt man mit 58€ raus

Was hat ein Extremfall mit dem Erwartungswert zu tun? Der Sinn dieser Antwort erschließt sich auch mir nicht.

Finde nun die Zwischenwerte und damit dann den Erwartungswert.

Sinn? Ich halte das für unnötig kompliziert. Der TS versteht das offenbar auch nicht.

@Conductor: Der EW am Spielende ist: 42*0 +100 = 100

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Was hat ein Extremfall mit dem Erwartungswert zu tun? Der Sinn dieser Antwort erschließt sich auch mir nicht.

Das hat den Sinn, dass man sich mal anschaut, welche Werte \(X\) überhaupt annehmen kann, um dann über die Wahrscheinlichkeitsverteilung den Erwartungswert zu berechnen, so wie man es eigentlich "lernt". Hier geht man also direkt über die Definition des Erwartungswertes.

Sinn? Ich halte das für unnötig kompliziert. Der TS versteht das offenbar auch nicht.

Siehe oben: Erwartungswert über die Verteilung bestimmen. Kompliziert ist es nicht, nur aufwändig.

Answer 3

Es sei \(Z\) die Anzahl von Zahl und \(K\) die Anzahl von Kopf. Dann ist \(X=100+Z-K\). Verwende Eigenschaften des Erwartungswertes und bestimme damit \(\mathbb{E}[X]\).

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Also ich habe mir erstmal ein paar Beispiele überlegt, um die Formel zu verstehen.

Für \(K=42, Z = 0\) gilt \(X=100+42-0=142\)

Für \(K=41, Z = 1\) gilt \(X=100+41-1=140\) usw bis man halt den Fall hat

Für \(K=0, Z = 42\) gilt \(X=100+0-42=58\)

Die höchste Zahl die man erreichen kann ist 142 und die niedrigste Zahl ist 58, hat Nudger ja schon geschrieben. Und der Betrag geht immer 2 Euro runter. Aber ich sehe noch nicht wie ich jetzt richtig den Erwartungswert finden kann.

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So viel gibt es da ja nicht zu verstehen. Es kommen \(Z\) Euro dazu und \(K\) Euro werden abgezogen. Damit bildet \(X=100+Z-K\) eine neue Zufallsvariable. Welche Verteilung haben \(Z\) und \(K\) und was sind deren Erwartungswerte? Nutze dann die Linearität des Erwartungswertes.

Answer 4

X hat eine diskrete Verteilung mit 43 möglichen Ereignissen

\( \displaystyle x_{i} = 100 + i\cdot 1 - (42-i) \cdot 1\)        für \(i = 0 \dots 42 \)

und deren Wahrscheinlichkeiten

\( \displaystyle P\left(X=x_{i}\right) = \binom{42}{i} \cdot 0,5^i \cdot (1-0,5)^{42-i}\)

und dem Erwartungswert

\( \displaystyle E[X]=\mu=\sum \limits_{i=0}^{42} x_{i} \cdot P\left(X=x_{i}\right) \)

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Die so ausgerechnete Verteilung sieht so aus:

Es gibt keine ungeraden Werte für die Zufallsvariable, weil die Münze eine gerade Anzahl mal geworfen wird.

Answer 5

Wenn du X Kopfwürfe hast, dann hast du (42 - X) Zahlwürfe. Demnach interessiert du dich für folgenden Erwartungswert

E(100 + X - (42 - X))
= E(100 + X - 42 + X)
= E(2·X + 58)
= 2·E(X) + 58

X ist Binomialverteilt und hat den Ewartungswert 21

= 2·21 + 58
= 42 + 58
= 100