Warum haben die mit dem Satz des Pythagoras gerechnet?

Question

Für einen Raum mit der Raumhöhe H = 2,5 m soll ein maßgefertigter Schrank hergestellt werden. Die Länge des Schranks soll das Vierfache seiner Höhe betragen.

Zeigen Sie, dass für das Volumen des skizzierten Schranks, welcher in dem Raum noch
aufgebaut werden kann, gilt: V(a) = -4a³ + 25a

Ich bin soweit gekommen, das ich V = a · h · 4h = 4h² · a

Aber in der Lösung haben die dann mit dem Satz des Pythagoras weiter gerechnet. Weiß jemand warum bzw. was das damit zutun hat? Das ist ja nicht mal ein Dreieck.

Answer 1

Du musst doch \(h\) mit Hilfe von \(a\) ausdrücken. Dadurch, dass der Raum 2,5 Meter hoch ist, weißt du, dass die Diagonale des Schranks (von der Seite betrachtet, siehe graue Fläche) maximal 2,5 Meter betragen darf. Zeichne sie ein. Das ist deine Hypotenuse. Dann hast du auch das entsprechende Dreieck und kannst \(h\) durch \(a\) ausdrücken.

Ich gehe davon aus, dass das Volumen in einer späteren Aufgabe maximiert werden soll. Dann sollte deine Funktion natürlich nur von \(a\) oder eben nur von \(h\) abhängen. Also braucht man als Nebenbedingung einen Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen.

Comments

Meinst du so?

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Und muss man bei solchen Aufgaben meisten immer irgendwie den Pyhtagoras aufstellen?

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Ja, genau so. Da die Diagonale ja die längste Seite ist, darf sie die Raumhöhe nicht überschreiten.

Das lässt sich so pauschal nicht beantworten. Allgemein kann ich aber nur den Tipp geben, insbesondere bei geometrischen Fragestellungen, immer auf der Suche nach rechtwinkligen Dreiecken zu sein, um Pythagoras anwenden zu können. Das hat man tatsächlich sehr häufig.

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Irgendetwas habe ich noch nicht verstanden: Bei unserem Kleiderschrank ist h=H, also fast.

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Dann hat er offenbr eine weniger absurde Aufbauanleitung als der des Aufgaben-Autors.

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Noch eine Verständnisfrage, was hat die Länge und Breite des Schrankes mit der Höhe zutun, ein Schrank könnte doch auch 10 mal 10 m sein Aber trotzdem und 2 m?

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Hast Du uns eigentlich die komplette Aufgabe zitiert?

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Irgendetwas habe ich noch nicht verstanden: Bei unserem Kleiderschrank ist h=H, also fast.

Aber eben auch nur fast. Ich denke, die Aufgabe zielt darauf ab, dass man den Schrank im Liegen aufbaut und er dann hochgekippt wird, wie es in der Praxis auch üblich ist. Daher ist es eben relevant, dass die Schrankhöhe nicht der Raumhöhe entspricht, sondern entsprechend etwas Luft bleibt.

Dann hat er offenbr eine weniger absurde Aufbauanleitung als der des Aufgaben-Autors.

Das hingegen ist jedenfalls nicht nachvollziehbar. Keine Ahnung, wie hj einen Schrank aufbaut, aber gut. Zumindest ist es nicht absurd, einen Schrank oder ein Schrankelement im Liegen aufzubauen und diesen dann hochzukippen.

Und genau das hat eben auch die Höhe des Schranks mit der Aufgabe zu tun. Die Länge und Breit ist ja vollkommen egal (abhängig vom Raum, was hier aber keine Rolle spielt).

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Keinen unserer (beiden) Kleiderschränke hat jemals jemand hochgekippt

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Ja, ist die ganze Aufgabe.

Wie bestimmt man da einen geeigneten Definitionsbereich muss man den Berechen?

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Das ist einfach logisches Denken. Beachte, dass wir hier mit Längen arbeiten... Welche Werte sind also sinnvoll?

Answer 2

a^2 + h^2 = 2.5^2 → h^2 = 6.25 - a^2

Das setzen wir für h^2 in das Volumen ein:

V = a·h·4h = 4·a·h^2 = 4·a·(6.25 - a^2) = 25·a - 4·a^3