Warum haben die mit dem Satz des pythagoras gerechnet?

Question

Für einen Raum mit der Raumhöhe H = 2,5 m soll ein maßge-
fertigter Schrank hergestellt werden. Die Länge des Schranks soll das Vierfache seiner Höhe
betragen.

Zeigen Sie, dass für das Volumen des skizzierten Schranks, welcher in dem Raum noch
aufgebaut werden kann, gilt: V(a) = -4a³ + 25a

Ich bin soweit gekommen, das ich V = a • h • 4h = 4h^2 • a

Aber in der Lösung haben die dann mit dem Satz des Pyhtagoras weiter gerecht, weis jemand warum bzw. was das damit zutun hat das ich ja nicht mal ein Dreieck?

Answer 1

Du musst doch \(h\) mit Hilfe von \(a\) ausdrücken. Dadurch, dass der Raum 2,5 Meter hoch ist, weißt du, dass die Diagonale des Schranks (von der Seite betrachtet, siehe graue Fläche) maximal 2,5 Meter betragen darf. Zeichne sie ein. Das ist deine Hypotenuse. Dann hast du auch das entsprechende Dreieck und kannst \(h\) durch \(a\) ausdrücken.

Ich gehe davon aus, dass das Volumen in einer späteren Aufgabe maximiert werden soll. Dann sollte deine Funktion natürlich nur von \(a\) oder eben nur von \(h\) abhängen. Also braucht man als Nebenbedingung einen Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen.

Comments

Meinst du so?

---

Und muss man bei solchen Aufgaben meisten immer irgendwie den Pyhtagoras aufstellen?

---

Ja, genau so. Da die Diagonale ja die längste Seite ist, darf sie die Raumhöhe nicht überschreiten.

Das lässt sich so pauschal nicht beantworten. Allgemein kann ich aber nur den Tipp geben, insbesondere bei geometrischen Fragestellungen, immer auf der Suche nach rechtwinkligen Dreiecken zu sein, um Pythagoras anwenden zu können. Das hat man tatsächlich sehr häufig.

---

Irgendetwas habe ich noch nicht verstanden: Bei unserem Kleiderschrank ist h=H, also fast.

---

Dann hat er offenbr eine weniger absurde Aufbauanleitung als der des Aufgaben-Autors.