Differenzierbares Vektorfeld Existenz anhand von Fluss

Question

ich habe einen Fluss eines Vektorfeldes gegeben durch:

φ(t,x) = -1 + e^t(1+x)

Als Frage in meiner Literatur erscheint, ob es ein zu φ zugehöriges Vektorfeld gebe.

Ich meine, es sollte ja eines geben, ansonsten würde es ja keinen Fluss dazu geben.

Kann man das Vektorfeld auch nun nur anhand des Flusses berechnen?

Answer 1

Teilkopie meiner Antwort auf Deine andere Frage:

Der Rechenweg ist auf

https://users.fmi.uni-jena.de/~matveev/Lehre/Mathmet/vorlesung4.pdf

Folie 4 erklärt:

Das Vektorfeld ist \(x\mapsto \frac{\partial}{\partial t} \varphi(t,x)|_{t=0}\).

Probier das mal aus.

Ansonsten poste stets(!) die Aufgabe im Original (vollständig, wörtlich).

Comments

Vielen lieben Dank

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Gerne. Hab gerade selbst gerechnet (ist ja einfacher als das wikipedia-Beispiel, weil hier nur 1d), Ergebnis: \(F(x)=1+x\). Probe, daraus den Fluss zu berechnen, gibt auch das gewünschte.

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Genau,

Man erhält mit dem Vektorfeld die DGL:

f' = 1 + f

die allg. Lsg. lautet: f(t) = c e^t-1

Verwenden der Bedingung f(0) = x₀

liefert c = x₀ + 1

also ist f(t) = (x₀ + 1)*e^t - 1

was dem Fluss aus der Angabe entspricht

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Genau so ist es, prima.