Wie bestimmt man den Fluss bei einem Vektorfeld?

Question

Aufgabe:

Geg ist das Vektorfeld \( \vec{v} \) = (x-y,x)^T auf Gebiet D. D liegt innerhalb des Kreises x^2+y^2=4

Bestimme fluss von v über den Rand ∂D

Problem/Ansatz:

Kann jemand weiterhelfen?

Answer 1

Aloha :)

Du sollst den Fluss \(\phi\) eines Vektorfeldes \(\vec v=\binom{x-y}{x}\) durch den Rand \(x^2+y^2=4\) eines Kreises \(C\) mit Radius \(2\) bestimmen:$$\phi=\oint\limits_C\vec v(\vec r)\cdot d\vec n$$Zum Abtasten der Kreislinie wählen wir Polarkoordinaten:$$\vec r=\binom{2\cos\varphi}{2\sin\varphi}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Der Normalenvektor \(\vec n\) steht auf dem Rand senkrecht und liegt in der xy-Ebene, daher ist er parallel zu \(\vec r\), muss aber auf die Länge \(1\) normiert werden: \((\vec n=\frac12\,\vec r)\). Wegen \(ds=r\,d\varphi=2\,d\varphi\) ist dann \(d\vec n=\vec n\,ds=\frac12\vec r\cdot2d\varphi=\vec r\,d\varphi\)$$\phi=\int\limits_0^{2\pi}\binom{2\cos\varphi-2\sin\varphi}{2\cos\varphi}\cdot\binom{2\cos\varphi}{2\sin\varphi}\,d\varphi=\int\limits_{0}^{2\pi}4\cos^2\varphi\,d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\left(2+2\cos2\varphi\right)d\varphi$$$$\phantom\phi=\left[2\varphi+\sin2\varphi\right]_{0}^{2\pi}=4\pi$$

Comments

Da scheint \(ds = 2d\varphi\) zu fehlen.

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Danke dir, hab's korrigiert.

Answer 2

Das lässt sich gut mit dem ebenen Gaußschen Integralsatz bestimmen:

$$\oint_C \vec v\cdot d\vec n = \oint_C \vec v\cdot \vec n \;ds = \int_D \operatorname{div}\vec v \;d(x,y)$$

$$\operatorname{div}\vec v = \frac{\partial (x-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} = 1+0 = 1$$

$$\int_D \operatorname{div}\vec v \;d(x,y)= \int_{x^2+y^2\leq 4} 1 \;d(x,y) = 4\pi$$

(Fläche des Kreises mit Radius 2)