Fluss zu Vektorfeld F(x,y) = (-y,x) berechnen

Question

ich habe auf Wikipedia folgendes Beispiel gefunden:

Text erkannt:

Der Fluss des auf dem \( \mathbb{R}^{2} \) definierten Vektorfeldes
\( F(x, y)=(-y, x) \)
ist gegeben durch
\( \Phi(t,(x, y))=(\cos (t) x+\sin (t) y,-\sin (t) x+\cos (t) y) . \)

Die Aufgabe ist also mit dem gegebenen Vektorfeld, den Fluss zu berechnen.

Mir erschließt sich leider nicht, wie man auf den Fluss kommt.

Ich habe zunächst so angefangen:

Wir haben eine Differentialgleichung mit f'(t) = F(f(t)) und f(0) = x₀ = \( \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} \)

f'(t) = \( \begin{pmatrix} f_1'\\f_2' \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} -f_2\\f_1 \end{pmatrix} \)

Diese Differentialgleichungen deuten darauf hin, dass es sich bei f_1 und f_2 um sin und cos handle, also hätte ich nun:

f(t) = \( \begin{pmatrix} f_1\\f_2 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} cos(t)*c\\sin(t)*c \end{pmatrix} \) da dies mit f' übereinstimmt. Nun hätten wir noch f(0) = \( \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} \), also f(0) = \( \begin{pmatrix} cos(0)*c\\sin(0)*c \end{pmatrix} \), aber ich weiß nicht, wie mich das auf das Ergebnis im Bild führt

Comments

kannst du die Orginalaufgabe posten, so ist das nicht klar um was es geht. . was hat es mit wikipedia zu tun?

Gruß lul

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Hallo,
das ist die Originalaufgabe, welche ich auf Wikipedia gefunden habe. Hier wird der Fluss direkt als Ergebnis angeschrieben, doch ich verstehe den Rechenweg nicht

Answer 1

Der Anfang ist richtig. Das sind keine Dgln, die auf irgendwas hindeuten, sondern das ist ein Dgl-System. Die allg. Lsg findet man z.B. durch Umschreiben auf eine Dgl 2. Ordnung, die lautet dann hier \(f_1''+f_1=0\), welche bekanntlich die allg. Lsg \(f_1(t)=c_1\sin t+c_2\cos t\) hat. \(f_2\) berechnet sich über \(f_2=-f_1'=...\).

Einsetzen der Anfangsbedingung \(f(0)=(x,y)\) führt bei mir auf

\(f(t)=(-y\sin t+x\cos t, \; x\sin t+y\cos t)\).

Das ist etwas anders als was bei wikipedia steht (warum auch immer).
Das Prinzip der Berechnung findet man auf https://users.fmi.uni-jena.de/~matveev/Lehre/Mathmet/vorlesung4.pdf, Folie 5.

Dort steht auf Folie 4 auch, wie man wieder zurück zum Vektorfeld kommt: Das Vektorfeld ist \((x,y)\mapsto \frac{\partial}{\partial t} \Phi(t,(x,y))|_{t=0}\).

Wenn ich das mit meiner Lösung mache, komme ich auch auf das ursprüngliche Vektorfeld.

Warum das von der wikipedia-Lösung abweicht, weiß ich nicht. Rechne mal selbst.

Für's nächste Mal: sin, cos in LaTeX sind \sin bzw. \cos.

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Vielen Dank für die Hilfe

Answer 2

Du hast nicht die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems bestimmt. Dieses lautet ja:

$$x'=-y, \quad y'=x$$Daraus folgt:

$$x''=-y'=-x \Rightarrow x''+x=0 \Rightarrow x(t)=a \cos(t)+b \sin(t)$$

Allerdings komme ich nicht auf das angegebene Ergebnis, vermute einen Druckfehler (F=(x,-y))

Aber rechne mal nach

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Aha, gut. Dann hab ich wohl richtig gerechnet.

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Danke für deine Antwort