Wie ist die zufällige Anzahl X der Originale unter den 4 gekauften Bildern verteilt?

Question

Aufgabe:

1. Für eine Lieferung werden 8 fehlerfreie Stücke eines Artikels benötigt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Artikel fehlerfrei ist, beträgt 0.8 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung genau mit der Herstellung des 10. Artikels abgeschlossen wird?
2. Auf einer Ausstellung von 20 Gemälden befinden sich 16 Originale und 4 Fälschungen. Ein Besucher wählt zufällig 4 Bilder aus und kauft diese.
a) Wie ist die zufällige Anzahl \( X \) der Originale unter den 4 gekauften Bildern verteilt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 3 Originale gekauft hat?
c) Jedes Original kann er mit Gewinn von \( 100 € \) verkaufen. Bei jeder Fälschung macht er \( 300 € \) Verlust. Wie groß ist der erwartete Gewinn?

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand sagen, ob meine Ergebnisse richtig wären?

Habe bei 1. die negative Binomialverteilung benutzt und es kam P = 0,2416 raus.

Bei 2. a) handelt es sich bei X um eine hypergeometrische Verteilung, habe dann die Werte 0 bis 4 eingesetzt und habe für P(X=0) = 1/4845, P(X=1) = 64/4845, P(X=2) = 48/323, P(X=3) = 448/969, P(X=4) = 364/969 raus.

Bei b) habe ich P(X≥3) = 0,8382 raus.

Bei c) habe ich einen erwarteten Gewinn von 80 Euro raus.

Answer 1

Das sieht doch alles ganz gut aus. Bei Aufgabe 2 b) hast du aber nicht gut gerundet. Mit den Werten aus a) erhält man da 0,8380

Answer 2

1. Für eine Lieferung werden 8 fehlerfreie Stücke eines Artikels benötigt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Artikel fehlerfrei ist, beträgt 0.8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung genau mit der Herstellung des 10. Artikels abgeschlossen wird?

P = (9 über 7)·0.8^7·0.2^2·0.8 = 0.2416

2. Auf einer Ausstellung von 20 Gemälden befinden sich 16 Originale und 4 Fälschungen. Ein Besucher wählt zufällig 4 Bilder aus und kauft diese.

a) Wie ist die zufällige Anzahl X der Originale unter den 4 gekauften Bildern verteilt?

hypergeometrisch verteilt

Hier kann man einfach mal nachfragen, ob die Verteilung angegeben werden muss. Wenn nur nach der Art der Verteilung gefragt ist, braucht man sie nicht anzugeben. Aber man kann dann die Parameter angeben.

In den folgenden Aufgaben zeigst du ja, dass du die Werte auch berechnen könntest.

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 3 Originale gekauft hat?

P = ((16 über 3)·(4 über 1) + (16 über 4)·(4 über 0))/(20 über 4) = 0.8380

c) Jedes Original kann er mit Gewinn von 100 € verkaufen. Bei jeder Fälschung macht er 300 € Verlust. Wie groß ist der erwartete Gewinn?

E(G) = ∑ (x = 0 bis 4) (x·400·(16 über x)·(4 über 4 - x)/(20 über 4)) - 4·300 = 80