Beweise: Wurzelkriterium ist schwächer als das Quotientenkriterium

Question

Aufgabe:

Wurzelkriterium ist schwächer als das Quotientenkriterium

Problem/Ansatz:

Wie beweise ich die Aussage? Ich dachte an lim sup von der nten Wurzel aus an < lim sup von (an+1/an). Wie soll ich das aber beweisen? hat da wer eine idee?

Comments

Beide Kriterien arbeiten eigentlich mit Beträgen, nehmen wir zu Vereinfachung, alles sei positiv. Dann könntest Du Folgendes benutzen:

$$a_n=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\frac{a_{n-2}}{a_{n-3}} \cdots\frac{a_{3}}{a_{2}}\frac{a_{2}}{a_{1}}a_1$$

Das QKriterium sagt Dir jetzt etwas über die Brüche auf der rechten Seite ....

Answer 1

Man müsste zunächst fragen: In welchem Sinne schwächer? Ich denke, es ist gemeint: Wenn sich die Konvergenz einer Reihe mit dem Quotientenkriterium zeigen lässt, dann auch mit dem Wurzelkriterium. Die Umkehrung gilt i. A. nicht. Das Wurzelkriterium ist somit eigentlich leistungsfähiger, weil die im Quotientenkriterium auftretenden Annahmen die des Wurzelkriteriums nach sich ziehen. Wenn nämlich \(\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \leq q\) für ein \(q<1\), dann erhält man ähnlich wie beim Beweis des Quotientenkriteriums:$$|a_n| \leq \frac{|a_m|}{q^m} q^n, \quad \text{also} \quad \sqrt[n]{|a_n|} \leq q \sqrt[n]{\frac{|a_m|}{q^m}}.$$

Wegen \(\sqrt[n]{\frac{|a_m|}{q^m}} \to 1\) für \(n\to \infty\), folgt daraus \(\sqrt[n]{|a_n|} \leq q'\) für fast alle \(n\) und ein geeignetes \(q'<1\).