Transformation normalverteilter Zufallsvariable

Question

Hat jemand eine Idee, wie ich diese Verteilung bestimmen kann? Ich benötige sie, um mit ihrer Hilfe ein Konfidenzintervall herzuleiten

Seien \( X_{i}, i \in\{1, \ldots, n\} \), unabhängige Zufallsvariablen mit \( X_{i} \sim \mathcal{N}(i \vartheta, 1) \), wobei \( \vartheta \in \mathbb{R} \) unbekannt sei.
 \( \hat{\vartheta}_{n}:=\sum \limits_{i=1}^{n} i X_{i} / \sum \limits_{i=1}^{n} i^{2} \).

Answer 1

Neben der Additionsregel für unabhängige normalverteilte Zufallsvariable (ZV) musst du auch noch das Verhalten von Varianz und Erwartungswert unter Skalierung mit einem Faktor berücksichtigen.

Ich benutze hier die Schreibweise \(N(\mu,\sigma^2)\). Als Abkürzung setze ich:

\(s= \sum_{i=1}^ni^2\quad (1)\)

Du hast \(X_i \sim N(i\theta,1)\). Nun wird jeweils mit \(i\) skaliert:

\(E(iX_i) = iE(X_i)=i^2\theta\)

\(V(iX_i) = i^2V(X_i)=i^2\)

Die Summenregel für unabhängige normalverteilte ZV ergibt somit:

\(Y := \sum_{i=1}^niX_i \stackrel{(1)}{\sim} N( s\theta , s)\)

Für \(\hat \theta_n\) musst du nun noch \(Y\) skalieren:

\( \hat \theta_n =\frac Ys \Rightarrow E(\hat \theta_n) = \frac{s\theta}s,\; V(\hat \theta_n) = \frac 1{s^2}\cdot s \).

Also: \(\boxed{\hat \theta_n \sim N \left( \theta , \frac 1s\right)}\)

Answer 2

Du kannst hier ausnutzen, dass die Summe normalverteilter unabhängiger ZV wieder normalverteilt ist:

Sind \(X\sim\mathcal{N}(\mu_1,\, \sigma_1^2)\) und \(Y\sim\mathcal{N}(\mu_2,\, \sigma_2^2)\), so ist \(X+Y\sim\mathcal{N}(\mu_1+\mu_2,\, \sigma_1^2+\sigma_2^2)\).