Neben der Additionsregel für unabhängige normalverteilte Zufallsvariable (ZV) musst du auch noch das Verhalten von Varianz und Erwartungswert unter Skalierung mit einem Faktor berücksichtigen.
Ich benutze hier die Schreibweise \(N(\mu,\sigma^2)\). Als Abkürzung setze ich:
\(s= \sum_{i=1}^ni^2\quad (1)\)
Du hast \(X_i \sim N(i\theta,1)\). Nun wird jeweils mit \(i\) skaliert:
\(E(iX_i) = iE(X_i)=i^2\theta\)
\(V(iX_i) = i^2V(X_i)=i^2\)
Die Summenregel für unabhängige normalverteilte ZV ergibt somit:
\(Y := \sum_{i=1}^niX_i \stackrel{(1)}{\sim} N( s\theta , s)\)
Für \(\hat \theta_n\) musst du nun noch \(Y\) skalieren:
\( \hat \theta_n =\frac Ys \Rightarrow E(\hat \theta_n) = \frac{s\theta}s,\; V(\hat \theta_n) = \frac 1{s^2}\cdot s \).
Also: \(\boxed{\hat \theta_n \sim N \left( \theta , \frac 1s\right)}\)