Bildungsvorschrift bei Folge { -2; 3; -1/3; -12; -1/18; 198;...}

Question

Aufgabe:

Berechne die Bildungsvorschrift und gebe die nächsten 3 Folgenglieder an.

Problem/Ansatz:

(a_n)_n element N = { -2; 3; -1/3; -12; -1/18; 198;...}


Ich finde hier keinen Ansatz wie ich eine Bildungsvorschrift schreiben könnte.

Ich könnte mir vorstellen das die Bildungsvorschrift mit 3er Potenzen zutun hat.

Comments

Wo hast du die Aufgabe her? Wer verlangt das von dir?

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Unser Prof hat uns die Folge mitgegeben bis zur nächsten Vorlesung. Noch hat keiner einen richtigen Ansatz gefunden.

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Was für eine Lehrveranstaltung professiert der?

Das negative Vorzeichen bei 12 ist richtig?

Ist rekursiv oder explizit gesucht?

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Mathe 2 (Ingenieursstudiengang)

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ja die Folge stimmt so mit den vorzeichen

Answer 1

\(a_{n+2}=\dfrac{1+a_n}{a_{n+1}}\) mit \(a_1=-2\) und \(a_2=3\) könnte passen.

Comments

Ja das passt. Dankeschön

Wie bist du so schnell auf die Vorschrift gekommen?
Gibt es da einen Trick?

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Einen dafür geeigneten Trick gibt es wohl nicht. Mit ist allerdings aufgefallen, dass das Produkt zweier aufeinanderfolgenden Folgeglieder immer um 1 größer ist, als das vorherige.

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Meine Hochachtung. Ich habe deinen Kommentar mal in eine Antwort verwandelt.

Answer 2

\(\displaystyle a_n=\\\\ \frac{1}{108}\left(-305 \sqrt{3} \sin \left(\frac{2 \pi n}{3}\right)+235 \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi n}{3}\right) \\\\ +7265 \cos \left(\frac{\pi n}{3}\right)+7315 \cos \left(\frac{2 \pi n}{3}\right)+3445 \cos (\pi n)+3359\right) \)

Answer 3

Auch wenn die Frage schon (zum Teil) beantwortet wurde, möchte ich noch was für Leute posten, die sich für ECHTE Wissenschaft interessieren und nicht nur für Lehrer oder Professor lernen:

Jede endliche Folge kann ohne Angabe von Randbedingungen durch unendlich viele Algorithmen (Bildungsvorschriften) nachgebildet werden.

Hier mal die 2 richtig genannten und 2 von mir, die alle die geforderten 6 Glieder als Funktionswert haben:

- die von Arsinoé4 ist eine rekursive Bildungsvorschrift (zu der ich auch noch keine explizite Funktion gefunden habe)

- Die von döschwo nennt man auch Trigonometrische Interpolation. Nachteil: Periodisch

- Polynom geht immer (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation )

- KF siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction

Dann gibt es noch unendlich viele andere (bei Bedarf nachfragen, da ich nur begrenzt Zeit habe; die theoretische Mathematik ist GRENZENLOS!).

Der Aufgabensteller (vermutlich der Professor) hätte angeben müssen, wie die Randbedingungen lauten. Z.B. ob Periode erlaubt ist, oder ob bekannte Interpolationsalgorithmen erlaubt sind... oder welche höheren Funktionen erlaubt sind...

Grüße

Comments

Völlig richtig. Man sollte beim Beantworten nie vergessen, dass es hier nicht die Vorschrift gibt, und stets jede "Antwort" nur eine von unendlich vielen richtigen Möglichkeiten ist.

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Ergänzend dazu mal ein einfaches und bekannteres Beispiel:

1, 2, 4, 8, 16, ...

Jeder mag nun schnell vermuten und sich damit auch sehr sicher sein, dass nur die 32 folgen kann. Aber nein, als nächstes kommt 31.

Es handelt sich um die Moser-Folge oder auch Kreisteilungsfolge. :)

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Auch ein hübsches Beispiel :

Welche Zahl fehlt ?
3 + 0/1
4 + 1/2
3 + 2/3
4 + ?
3 + 4/5

Tipp : Es ist nicht 3/4

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Ich gebe zu, dass es in dieser Richtung leider unglücklich formuliert ist.
Geeigneter ist die Fragestellung in folgender Form :

Welche Zahl fehlt ?
4 - 1/1
4 + 1/2
4 - 1/3
4 + ?
4 - 1/5

Das Fortsetzen eines Muster führt zu ? = 1/4, das Ausrechnen hingegen auf die oben hingeschriebenen gemischten Brüche mit der ebenso plausiblen Antwort ? = 3/4.

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Nachteil: Periodisch

Ist das ein Nachteil? Wenn ja, weshalb?

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Nachteil? Wenn ja, weshalb?

Weil kein Mensch bei einer Frage nach einem Bildungsgesetz eine Antwort zu einer periodischen Funktion haben möchte. Das ist:

- als Aufgabe zu primitiv.

- bei der Ermittlung der exakten Funktion zu kompliziert ohne Rechner

Anders sieht es aus, wenn man mehrere 1000 Stützstellen mit einer relativ einfachen Formel verbinden (oder verschlüsseln) will:

https://www.lamprechts.de/gerd/Liniendiagramm_Scientific_plotter2.htm

Beispiel 111 ergibt mit einer Formel aus etwa 68888 Zeichen ein schönes Bild

(mehr unter https://www.lamprechts.de/gerd/ParameterKurven.htm )

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Bei Parkettierungen sind periodische Weiterführungen durchaus erwünscht.

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In der Signalanalyse auch.

Answer 4

Vom ersten zum dritten und vom dritten zum fünften Folgenglied wird jeweils durch 6 geteilt.

Nur beim 2., 4. und 6. Glied finde ich mit 3*1,  3*(-4) und 3*66 nicht wirklich eine Gesetzmäßigkeit.

Comments

zu "nicht wirklich eine Gesetzmäßigkeit." -> hunderte...

Hier 1 Beispiel in der Rekursionsfunktionen Schreibweise:

Abakus[k] :=Which[k <= 1, -2,     k == 2, 3,
    k > 2, Abakus[k - 2]*(Mod[k, 2] - 24*Mod[k + 1, 2])/6 + Floor[E^(-(k - 6)^2)]*150]

Die beiden ersten Glieder sind ja fest definiert (hier mit der Which-Funktion).

Mit Modulo 2 unterscheidet man GERADEN und UNGERADEN Index...

...und den Sonderfall bei Index 6 kann man z.B. mit der Index-verschobenen e^(-x²)

Funktion (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Glockenf%C3%B6rmige_Funktion )

realisieren, die nur im Ursprung 1 ist (ansonsten immer kleiner, was mit der Abrundungsfunktion Floor zu 0 wird).

Ergibt die Folge:

-2, 3, -1/3, -12, -1/18, 198, -1/108, -792, -1/648, 3168,...