Beweise den Satz des Pythagoras mithilfe der Trigonometrie

Question

Aufgabe:

Beweise den Satz des Pythagoras mithilfe der Trigonometrie.

Die Frage ist, ob folgender Beweis erlaubt wäre:

cos α = q/b = b/c → b^2 = q·c

cos β = p/a = a/c → a^2 = p·c

Wir addieren die Gleichungen

a^2 + b^2 = p·c + q·c = (p + q)·c = c^2

Nebenher sind die beiden Kathetensätze auch noch abgefallen, die man normalerweise langwierig über den Pythagoras herleitet. Spricht also irgendwas gegen diese Methode?

Answer 1

Spricht also irgendwas gegen diese Methode?

Keinesfalls.

Hallo Mathecoach,

der Kosinus ist sogar überflüssig. Das Seitenverhältnis q/b = b/c (und auch p/a = a/c) gilt schon allein wegen der Ähnlichkeit der beteiligten Dreiecke.

Genau dieses Vorgehen meiner Mathematiklehrerin im Jahr 1976 hat sich mir so beeindruckend eingebrannt, dass ich alle anderen Verzweiflungstaten der Didaktiker des letzten halben Jahrhunderts ignoriere und den Satz des Pythagoras bei meinen Klassen genau so herleite.

Die Ähnlichkeitsbetrachtung hat sogar noch zwei andere "Abfallproduket":

Wegen a:c=h:b gilt ab = ch , was sowieso aus den zwei möglichen Varianten der Flächenberechnung des rechtwinkligen Dreiecks folgt, aber diese beiden Möglichkeiten eben noch einmal bestätigt

Aus h:p=q*h folgt auch gleich noch der Höhensatz h²=pq.

Comments

der Kosinus ist sogar überflüssig.

Das stimmt. Ist das nicht vielleicht eher ein Argument genau dafür, dass es sich hier nicht um einen echten trigonometrischen Beweis handelt, sondern viel mehr einen der Ähnlichkeitslehre zurechenbaren - falls man diese Unterscheidung explizit macht.

Zwei Schülerinnen haben sich letztens dieser Fragestellung gewidmet: Kann man überhaupt pur trigonometrisch argumentieren bzw. Trigonometrie einführen, ohne implizit Pythagoras zu benutzen, aber immer noch mächtig genug, um den Pythagoras beweisen zu können? Explizit nicht erlaubt dabei: Argumentationen anhand der Eigenschaft, dass die rechtwinkligen Dreiecke mit fester Hypotenuse alle auf einem Kreis liegen (bei ihnen sogenannte "cyclotopische" Argumentation). Die Antwort: Ja, sie konnten einige explizit pur trigonometrischen Beweise angeben, diese sind soweit ich sehen kann sogar "neu". Siehe dazu: https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240 , besonders p. 741 für eine Diskussion des vom FS erwähnten Beweises. Ein für Schüler herausragendes Paper.