Optimierungsaufgaben / Verständnis Funktionen

Question

Aufgabe:

10) Ein Dachboden hat als Querschnittsfläche ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Höhe von 2,80 m und einer Breite von 10m. In ihm soll ein quaderförmiges Zimmer mit möglichst großem Volumen eingerichtet werden. Wie ist das Ergebnis für die praktische Ausführung zu bewerten?

6) Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit unten angesetztem Halbkreis. Wählen Sie die Maße dieses Rechtecks so, dass bei gegebenem Umfang U des Querschnitts des Kanals sein Flächeninhalt möglichst groß wird.

Problem/Ansatz:

kann jemand mir bei Aufgabe 6 und 10 helfen bitte.

Comments

10)

Hier würde ich nicht das Volumen des Zimmers maximieren, sondern die halbe Querschnittsfläche A = b/2 * ((-2,8 / 5)*(b/2) + 2,8) wobei b die Breite des Zimmerquerschnitts ist.

6)

Zielfunktion: Flächeninhalt von Rechteck (Breite mal Höhe)

Nebenbedingung: Umfang von Rechteck (drei Seiten) plus Halbkreis (mit Radius halbe Rechtecksbreite)

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Ich würde das gerne mit Geogebra machen und weiß nicht was ich da eingeben muss ,damit ein korrektes Ergebnis aus   kommt.  Ich bräuchte Anweisungen , damit geogebra das korrekt rechnen kann . Ich versteh nicht  wie das geht und brauche. deshalb eure Hilfe.

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Ahso, mit Geogebra. Ich kann es nur ohne. Jemand wird Dir zeigen, wie man es in Geogebra eingibt.

Bei 6) könntest Du Zielfunktion und Nebenbedingung ja trotzdem mal aufschreiben.

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Kannst du mir  bitte sagen wie du 10 gemacht  hast , also was deine schritte so sind .

Ich werde meine gleich hier einfügen , damit du weiß wie ich gerechnet habe.

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Meine Überlegung bei 10) war, dass das Volumen maximal wird, wenn der Querschnitt maximal ist, und jener maximal wird, wenn der Flächeninhalt einer Hälfte maximal ist. Und der ist gleich Breite (b/2) mal Höhe, wobei die Höhe eine lineare Funktion von b/2 ist, mit h = 2,8 wenn b/2 = 0 und h = 0 wenn b/2 = 5.

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Kann ich deine Schritte   sehen

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10) vgl:

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Kann ich deine Schritte sehen

Wie geschrieben, ich kann es nur ohne Geogebra.

Ich werde meine gleich hier einfügen , damit du weiß wie ich gerechnet habe.

Ich befürchte, ich finde das nicht.

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@simple mind

Hast du selber dir das Video angesehen? Etwas umständlich über den Strahlensatz einen Zusammenhang von x und y aufzustellen. Eine lineare Funktion bei der man den y-Achsenabschnitt und das Steigungsdreieck sieht ist da deutlich einfacher.

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Diese Methode habe ich schon oft gesehen und war mein erster Gedanke.

Es schadet nicht, auch diese Methode zu kennen, denke ich.

Answer 1

10) Ein Dachboden hat als Querschnittsfläche ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Höhe von 2,80 m und einer Breite von 10 m. In ihm soll ein quaderförmiges Zimmer mit möglichst großem Volumen eingerichtet werden. Wie ist das Ergebnis für die praktische Ausführung zu bewerten?

Mit GeoGebra kann ich auch nur eine Skizze zum Verständnis herstellen:

Geradengleichung durch A und B mit dem Mittel deiner Wahl.

\(A(u)=2u\cdot f(u)\)  soll maximal werden.

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6) Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit unten angesetztem Halbkreis. Wählen Sie die Maße dieses Rechtecks so, dass bei gegebenem Umfang U des Querschnitts des Kanals sein Flächeninhalt möglichst groß wird.

\(A(r,h)=2 r h+0,5 r^2 π\)  soll maximal werden.

NB:

\(U =2r+2h+r π  \)  Auflösung nach h:

\(h = \frac{1}{2}U-\frac{r }{2} π-r \)

\(A(r)=2 r (\frac{1}{2}U-\frac{r }{2} π-r )+0,5 r^2 π\)

\(A'(r)=2 \cdot (\frac{1}{2}U-\frac{r }{2} π-r )+2 r \cdot (-0,5π-1)+rπ\)

\(2 \cdot (\frac{1}{2}U-\frac{r }{2} π-r )+2 r \cdot (-0,5π-1)+rπ=0\)

Nun nach r auflösen....

  

Answer 2

10) Ein Dachboden hat als Querschnittsfläche ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Höhe von 2,80 m und einer Breite von 10 m. In ihm soll ein quaderförmiges Zimmer mit möglichst großem Volumen eingerichtet werden. Wie ist das Ergebnis für die praktische Ausführung zu bewerten?

h(x) = 2.8 - 2.8/5·x für 0 <= x <= 5

A(x) = 2·x·h(x) = 5.6·x - 1.12·x^2

A'(x) = 5.6 - 2.24·x = 0 → x = 2.5

h(2.5) = 1.4 m

Ein Zimmer mit einer Höhe von 1.4 m ist sicher inakzeptabel.

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Kannst du die schritte Bitte erklären , damit ich verstehen kann.

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6) Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit unten angesetztem Halbkreis. Wählen Sie die Maße dieses Rechtecks so, dass bei gegebenem Umfang U des Querschnitts des Kanals sein Flächeninhalt möglichst groß wird.

u = 2·r + 2·h + pi·r --> h = u/2 - r·(pi + 2)/2

A(r, h) = 2·r·h + 1/2·pi·r^2
A(r) = 2·r·(u/2 - r·(pi + 2)/2) + 1/2·pi·r^2 = r·u - r^2·(pi + 4)/2

A'(r) = u - r·(pi + 4) = 0 --> r = u/(pi + 4)

h = u/2 - (u/(pi + 4))·(pi + 2)/2 = u/(pi + 4)

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Kannst du die schritte Bitte erklären , damit ich verstehen kann.

Am besten gehst du schrittweise durch und rechnest nach und sagst, wo du etwas nicht verstehst.