Berechnen Sie durch geschickte Entwicklung nach Zeilen und/oder Spalten die Determinante der Matrizen A und B .

Question

Könnte mir jemand bitte die ersten Schritte erklären, wie die Übungsleiterin auf die Determinante gekommen ist, warum kommt z.B. det 1 • Matrix + det 2 • Matrix, und wie ist sie drauf gekommen, die Spalten zu vereinfachen? Es geht um die folgende Aufgabe:

Text erkannt:

Blatt 7
Aufgabe 1. Berechnen Sie durch geschickte Entwicklung nach Zeilen und/oder Spalten die Determinante der Matrizen \( A \) und \( B \).
\( A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 2 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{llll} 2 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 8 & 4 & 2 \end{array}\right) \)

Answer 1

Zu A: Da wurde nach der 3. Zeile entwickelt. Die verwendete Formel ist der Laplace-Entwicklungssatz, siehe z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Laplacescher_Entwicklungssatz

also hier mit der Zeile i=3:

Die Summanden haben jeweils die Form \(a_3j\) mal eine Unterdeterminante mal ein Vorzeichenfaktor. Die Unterdeterminante entsteht aus der ursprünglichen Matrix durch Streichen der 3. Zeile und der j.ten Spalte.

Hier ist die Wahl der 3. Zeile geschickt, weil da ja nur zwei Summanden auftauchen, also \(\det A= 1\cdot ...+2\cdot ...\). Geh das gründlich Schritt für Schritt mit der Formel durch, nur so lernt man das.

Comments

Vielen lieben Dank, gucke mir das erst bei Daniel Jung an und versuche die Aufgabe nochmal alleine

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Eine Frage: so wie ich es jetzt verstanden habe, darf man sich aussuchen, welche Zeile oder Spalte ausgewählt wird und durchstreicht (natürlich werden die Nullzeilen/Spalten bevorzugt)-> ist das so richtig?

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Ja, es geht für jede beliebige Zeile oder Spalte. Welche man dann bei der Rechnung durchstreicht, steht dann aber fest (nachdem man sich für eine Zeile oder Spalte entschieden hat).