Wie wende ich Cauchyprodukt an

Question

Aufgabe: ) Zeigen Sie, dass für z ∈ C mit |z| < 1 gilt

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \) (k+1)z^k = \( \frac{1}{(1-z)∧2} \)

Problem/Ansatz:

Um den Bruch auszurechnen hab ich als erstes die Geometrische reihe Aufgestellt ∑z^k =\( \frac{1}{1-z} \)

Nun wollte ich das Cauchy-Produkt aus rechnen und überprüfen ob das raus kommt was auf der rechten Seite steht.

Bei der Anwendung vom Cauchy-Produkt bin ich hängen geblieben und weiß nicht mehr weiter.

Answer 1

Der Anfang ist gut. Nun quadriere (d.h. multipliziere mit sich selbst) und verwende das Cauchyprodukt um (hoffentlich) das auf der linken Seite zu erhalten. Das steht auch sofort da. Einsetzen, zusammenfassen, fertig.

Comments

Nun, nachdem ich Quadriert hab und das Cauchy Produkt angewendet habe, erhalte ich ich für

c_n = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{} \) z^k * z^n-k = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{} \) zⁿ = (n + 1)zⁿ

somit lautet die neue Reihe:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \) (n + 1)zⁿ

Nun hab ich die rechte Seite soweit ausgerechnet das es äquivalent zu der linken Seite ist, ist das so ausreichen?

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Perfekt, genau richtig.

Anmerkung: Der Ausdruck ist gleich dem auf der anderen Seite, nicht äquivalent. "äquivalent" sind Aussagen, nicht Terme.

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Alles klar, vielen Dank für deine oder ihre schnelle Hilfe :)