Integrierender Faktor mit λ(y)

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

H2 Zu lösen ist die Differentialgleichung \( 2 \sin \left(y^{2}\right)+x y \cos \left(y^{2}\right) y^{\prime}=0 \) mit \( y(2)=\sqrt{\pi / 6} \).
(a) Berechnen Sie die Rotation des zugehörigen Vektorfeldes \( (f, g): \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \). Gilt Exaktheit?
(b) Berechnen Sie \( -\operatorname{rot}(f, g) / g \) und \( \operatorname{rot}(f, g) / f \) und entscheiden Sie, ob ein integrierender Faktor \( \lambda(x) \) oder \( \lambda(y) \) in nur einer Variablen existiert. Finden Sie die möglichen Faktoren.
(c) Finden Sie für einen der integrierenden Faktoren aus (b) ein Potential zum Vektorfeld \( (\lambda f, \lambda g) \). Berechnen Sie die Lösung \( y: I \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto y(x)=\ldots \) des Anfangswertproblems.

Problem/Ansatz:

Hallo Zusammen,

ich habe ein Problem bei dem Aufgabenteil b. Bei λ´(y)/λ(y) kommt bei mir -3ycos(y^2)/2sin(y^2) raus. Wenn ich die Differentialgleichung weiter rechne erhalte ich λ(y)= c*|sin(y^2)|^-(3/4). Ich rechne mit der indem ich c*e^Integral(a(x)) wobei a(x)=-3ycos(y^2)/2sin(y^2) ist.

Geht das so oder darf man das nicht und muss es anders lösen?

Answer 1

Hallo,

Aufgabe b)

2 sin(\( y^{2} \)) dx + xy  cos(\( y^{2} \)) dy=0

f= 2 sin(\( y^{2} \))

g=xy cos(\( y^{2} \))

f_y = 4y cos(\( y^{2} \))

g_x= y cos(\( y^{2} \))

\( \begin{aligned} \underline{\operatorname{rot}(f, g)} & =\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y} \\ & =y \cos \left(y^{2}\right)-4 y \cos \left(y^{2}\right) \\ & =-3 y \cos \left(y^{2}\right)\end{aligned} \)

\( \frac{\operatorname{rot}(f, g)}{f}=\frac{-3 y \cos \left(y^{2}\right)}{2 \sin \left(y^{2}\right)} \)

 \( -\frac{\operatorname{rot}(f, g)}{g}=-\frac{-3 y \cos \left(y^{2}\right)}{x y \cos \left(y^{2}\right)}=\frac{3}{x} \)

Du siehst beim 2.Fall, das ein integrierender Faktor λ(x) existiert.

\( \begin{array}{l}\lambda(x)=e^{\int f(x) d x} \\ \lambda(x)=e^{\int \frac{3}{x} dx} \\ \lambda(x)=x^{3}\end{array} \)