Wie groß ist der Flächeninhalt zwischen Kurve f und Strecke s?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=x•e^x+1

Der Ursprung wird mit dem Punkt (-1|f(–1) durch eine Strecke s verbunden. Wie groß ist der Flächeninhalt zwischen Kurve f und Strecke s?

Hinweis: formansatz (ax plus b)

Wie lang ist die Strecke ?

Ich habe die Stammfunktion mit dem Formansatz schon berechnet , ich weiß aber nicht ,ob sie richtig ist :

(1x-1) •e^x+1

Dann habe ich das Integral verwendet von -1 bis 0 und da kam als ich das jeweils eingesetzt habe -3 raus.

Ich weiß auch nicht wie man dann die Strecke berechnen würde. Ich hab die Aufgabe als Übung für eine Klausur gemacht daher habe ich keine Lösungen

Comments

Bist du sicher, dass die Fläche zwischen dem Graph und der Strecke 3 FE beträgt?

Die Streckenlänge lässt sich mit dem Pythagoras bestimmen.

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Lautet die Funktionsgleichung so, wie du sie geschrieben hast, oder \(f(x)=x\cdot e^{x+1}\)

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Als ich 0 und -1 eingesetzt habe habe ich die Differenz benutzt und 3 kam dabei raus. Ob es stimmt weiß ich nicht

Answer 1

Deine Stammfunktion stimmt nicht. Alleine schon, wenn man das +1 aufleitet, erhält man irgendwo ein \(x\), was bei dir noch fehlt. Du kannst deine Stammfunktion übrigens selbstständig prüfen, wenn du sie noch einmal ableitest.

Nimm die Skizze von Moliets zur Hilfe. Da wird dann auch klar, um welche Fläche es geht und wie man die Länge der Strecke berechnen könnte. Das Stichwort Pythagoras wurde ja schon genannt.

Beachte, dass du die Fläche zwischen Graph und Strecke suchst. Mit dem Integral selbst, bestimmst du nur die Fläche zwischen Graph und \(x\)-Achse. Du musst also noch die Fläche des Dreiecks unterhalb der Strecke abziehen.

Comments

um welche Fläche es geht

Meines Erachtens gibt es keine Fläche zwischen Kurve f und Strecke s.

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Ja, anscheinend gehört das "+1" auch in den Exponenten. Dann ist die Stammfunktion natürlich korrekt und dann gibt es auch eine Fläche zwischen dem Graphen und der Strecke. Es ändert aber auch nichts an der Vorgehensweise.

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Also ist meine Stammfunktion doch korrekt ?

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Wenn es um die Funktion \(f(x)=x\mathrm{e}^{x+1}\) geht, dann ja. Um Exponenten gehören Klammern, ansonsten steht da \(f(x)=x\mathrm{e}^x+1\), was etwas anderes ist.

Answer 2

f(x) = x·e^(x + 1)

f(-1) = -1

Gerade durch den Ursprung und (-1 | f(-1))

g(x) = x

Differenzfunktion und Stammfunktion

d(x) = x - x·e^(x + 1)
D(x) = e^(x + 1)·(1 - x) + 1/2·x^2

Fläche

A = ∫ (-1 bis 0) d(x) dx = D0) - D(-1) = e - 2.5 ≈ 0.2183

Skizze

~plot~ x·e^(x + 1);x;[[-4|4|-3|3]] ~plot~

Comments

Vielen Dank, könntest du das auch mit den Formansatz lösen.

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Formansatz

g(x) = m·x + b

g(0) = m·0 + b = 0 → b = 0

g(-1) = m·(-1) + 0 = -1 → m = 1

Daher lautet die Geradengleichung

g(x) = x

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Ich vermute, der Formansatz bezieht sich darauf, dass man \(F(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{x+1}\) ableitet und dann mit \(f(x)\) einen Koeffizientenvergleich durchführt, um damit die Stammfunktion zu ermitteln.

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Im Aufgabentext lese ich

Hinweis: formansatz (ax plus b)

Daher denke ich, der Formansatz bezieht sich auf die lineare Funktion.

Aber ich kann mich natürlich auch irren.

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Ich habe die Stammfunktion mit dem Formansatz schon berechnet

Wenn du mal mehr als nur die Aufgabe lesen würdest, wäre es eigentlich klar.

Das ist ein übliches Vorgehen, was einige Lehrer gelegentlich zeigen, um bei solch einfachen e-Funktionen nicht extra die partielle Integration einführen zu müssen.

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Die Stammfunktion

F(x) = e^(x + 1)·(x - 1)

war soweit richtig. Das Äpfelmännchen hatte aufgrund der falschen Schreibweise von f geschrieben, die Stammfunktion sei verkehrt.