es geht um vollständige induktion

Question

Ich verstehe nicht ganz wie ich das sonst machen soll.

Text erkannt:

9.36)
\( \begin{array}{l} b_{1}=1 ; b_{n+1}=b_{n}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \\ e_{n}=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \end{array} \)
1. IA:
\( \begin{array}{l} b_{1}=1 \\ e_{1}=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=1 \end{array} \)
2. IV: \( \exists n \in \mathbb{N}: b_{n+1}=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)
\( b_{n}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)
3. Is: \( n \rightarrow n+1 \)
\( b_{n+1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{(n+1)-1} \)
4. Beweis:
\( \begin{array}{l} \text { Beweis: } \\ \qquad b_{n+1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \\ \text { IV } 2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \end{array} \)

Comments

Kein Wunder, dass du verwirrt bist. Es fehlt jeglicher Text, daher ist nicht klar, was ist Voraussetzung, was ist Behauptung, also was ist zu zeigen. Fang damit mal ganz oben an, und notiere das entsprechend in Ind Vor. und Ind Beh.

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Steht da doch: IA, IV etc

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Nochmal: "ganz oben ", also bei der Aufgabenstellung.

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Die Aufgabe ist einfach mithilfe vollständiger Induktion zu zeigen, dass die beiden Gleichungen gleich sind.
Mehr steht da nicht.

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Da geht einiges durcheinander. Die Gleichungen sind sicher nicht gleich und das steht da sicher auch nicht. Solange Du nicht klar hast, was zu zeigen ist, wird's schwierig. Schreib die Aufgabe mal vollständig ab, oder poste ein Foto.

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Die Aufgabe ist schon klar. Es soll für die angegebene Rekursion die geschlossene Formel gezeigt werden. Siehe dazu auch meine Antwort. Aber durch dieses Durcheinander und das Hin- und herspringen zwischen den Formeln, bleiben Fehler nicht aus.

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@am Ich hab Deine Antwort schon gelesen, halte es aber für nötig, dass FS erstmal sein Vorgehen sortiert. In der IV steht z.B. \(b_{n+1}=e_n\). Mit nem sauberen Schema der Induktion passiert so was nicht. Das wird ja oft unterschätzt (auch von einigen Helfern).

Answer 1

Hier geht erst einmal einiges schief.

Du möchtest zeigen, dass \(e_n=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) eine geschlossene Formel für die Rekursion ist. Dann solltest du auch diese Formel in deiner IV und im IS verwenden. Du hantierst hier aber mit der Rekursionsformel herum, wodurch dir dann ärgerliche Fehler unterlaufen.

Die IV lautet dann:

Es gibt ein \(n\), so dass \(e_n=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\).

Im Induktionsschritt gehört dann

\(e_{n+1}=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\).

Das zeigst du dann über die Rekursion und mit der IV:

\(e_{n+1}=e_{n}+\left(\frac{1}{2}\right)^n\stackrel{IV}{=}\ldots\)

Dir fällt dein Fehler damit hoffentlich auf.

Der Schritt, der dann zum Ziel führt: Klammere bei den Potenzen \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) aus.