Exponentialgleichung mit Substitution

Question

Aufgabe: 2 e^x- e^(-x)+5=0

Problem/Ansatz: Substitution z=e^x

2z -3/z+5 =0  / *z

2 Z² +5z - 3 = 0

z1,2 = (-5 x/- Wurzel(25+24) ) / 4

      = (-5 +/- 7) / 4

z1=3    z2=-0,5

resubst e^x=3  → x1=ln(3)

          e^x=ln(-0,5) --- > geht nicht , ausgeschlossen

Ich habe als Lösung : x= ln(3) , in der Lösung steht -ln(2)

Wo ist mein Fehler ?

-------------------------------------

Und dann hätte ich noch e^(2x)-17/2 * e^x +16=0

-----------------------------------------------

Stimmen diese Regeln ???

e^x + e^x = 2e^x

e^(2x) = e^x + e^x

e^x^2 = e^(x*x)

Answer 1

2z²+5z-3 =0 |:2

z²+2,5z-1,5 0

z1/2 = -1,25+-√(1,25²+1,5)

z1/2 = -1,25+- 1,75

z1 = 0,5

z2 = -3 (entfällt)

e^x = 0,5 = 1/2

x= ln(1/2) = ln1 -ln2 = 0 - ln2 = -ln2

Comments

Soweit war der FS auch schon. Das beantwortet nicht die Frage, WAS er falsch gemacht hat.

---

Danke, hab es jetzt kapiert

Answer 2

In der Aufgabe  2 e^x- e^(-x)+5=0 steht gar keine 3. Wieso ist nach der Substitution eine drin?

Deine zweite "Regel" ist falsch. Es gilt

e^(2x) = e^x · e^x

(-5 + 7) / 4 ist übrigens 2/4 = 1/2.

Comments

Die 3 in der Ausgangsgleichung wurde offenbar verschluckt.

---

Mist, da habe ich falsch abgeschrieben .

Die Aufgabe heißt 2 ex- 3 * e(-x)+5=0

Danke, dass Regel 2 falsch ist, habe ich jetzt kapiert

Viele Grüße

Uli

Answer 3

2·e^x - 3·e^(-x) + 5 = 0

2·z - 3/z + 5 = 0

2·z² - 3 + 5·z = 0

2·z² + 5·z - 3  = 0 --> z = 1/2 ∨ z = - 3 Hier hast du verkehrte Vorzeichen. Prüf das mal bitte.

e^x = 1/2 → x = ln(1/2) = ln(2^-1) = - ln(2)

e^x = - 3 → keine weitere Lösung

Comments

.......................

---

Das beantwortet aber NICHT die Frage, was der FS falsch gemacht hat. Die Lösung kennt er, deine Rechnung hilft ihm da also eher nicht.

Sicher. Er hat die Lösungen der quadratischen Gleichung verkehrt ausgerechnet und soll das bitte nochmals nachrechnen

... = (-5 +/- 7) / 4

Ich komme da auf -3 und 1/2

---

Danke, hab es jetzt kapiert

Answer 4

= (-5 +/- 7) / 4

z1=3    z2=-0,5

Vorzeichen vertauscht. Und \(\ln(0,5)=-\ln(2)\).

e^(2x) = e^x + e^x

Nein, multiplizieren, nicht addieren.

Comments

Danke, hab es jetzt kapiert

Answer 5

Ohne Substitution:

\(2 e^x- 3\cdot  e^{-x}+5=0|\cdot e^x\)

\(2 e^{2x}+5e^x=3\)

\( e^{2x}+\frac{5}{2}e^x=\frac{3}{2}\) quadratische Ergänzung:

\( e^{2x}+\frac{5}{2}e^x+(\frac{5}{4})^2=\frac{3}{2}+(\frac{5}{4})^2\)  1.Binom:

\( (e^{x}+\frac{5}{4})^2=\frac{49}{16}  |±\sqrt{~~}\)

1.)

\( e^{x}+\frac{5}{4}=\frac{7}{4} \)

\(e^{x}=\frac{1}{2}\)

\(x\cdot\ln(e)=\ln(\frac{1}{2})\)     mit \(\ln(e)=1\):

\(x=\ln(\frac{1}{2})=-\ln(2)\)

2.)

\( e^{x}+\frac{5}{4}=-\frac{7}{4} \)

\( e^{x}=-3 \)

\(x=\ln(-3)\)  Ist keine Lösung in  ℝ.