Auslösung Gleichung mit Brüchen und Potenzrechnung

Question

Aufgabe:

Gegeben ist folgende Gleichung:

0,3 x ([(1.500-100x)÷50]÷x)⁰,⁷ = 0,7 × (x÷[(1.500-100x)÷50])⁰,³

Die korrekte Darstellung habe ich beigefügt. Es handelt sich um ein Foto aus einer von mir erstellen Word-Datei.

Text erkannt:

\( 0.3 \cdot\left(\frac{1.500-100 x}{50}\right)^{0.7}=0.7 \cdot\left(\frac{x}{\frac{1.500-100 x}{50}}\right)^{0.3} \)
\( \frac{\frac{1.500-100 x}{50}}{x}=\frac{0.7}{0.3} \)
\( 30-2 x=\frac{0.7}{0.3} x \rightarrow x=6,923 \)

Die Lösung lautet wie folgt:

1. Zwischenschritt: ([(1.500-100x)÷50]÷x) =  0,7÷0,3

2. Zwischenschritt: 30 - 2x = (0,7÷0,3)×x

Lösung: x = 6,923

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie man aus der Ausgangsgleichung auf den 1. Zwischenschritt kommt. Ich habe alle Regeln bei Potenzrechnung gesichtet und komme einfach nicht darauf, wie die Umstellung erfolgt. Über eine Erläuterung, gerne auch nur einen Hinweis auf die angewandte Regel, freue ich mich sehr.

Answer 1

Du hast

$$0.3\cdot q^{0.7} =0.7\cdot \underbrace{\left(\frac 1q\right)^{0.3}}_{= q^{-0.3}} \quad (1)$$

Nachtrag wegen Kommentar:

Die rechte Seite von (1) ergibt sich mit Hilfe folgender Rechenregeln für Potenzen für positive Basen \(a\):

$$\frac 1{a^x}= a^{-x}\quad (2)\quad \text{und}\quad (a^x)^y= a^{x\cdot y}\quad (3)$$ Daher:

$$\left(\frac 1q\right)^{0.3} \stackrel{(2)}{=} (q^{-1})^{0.3} \stackrel{(3)}{=} q^{-0.3}$$

Ingesamt verwandelt sich Gleichung (1) also in

$$0.3\cdot q^{0.7} =0.7\cdot q^{-0.3}$$Multiplikation mit \(q^{0.3}\) ergibt:$$0.3\cdot q^{0.7}\cdot q^{0.3} = 0.7q^{-0.3}\cdot q^{0.3} \quad (4)$$ Potenzen nun zussammenfassen mit der Regel \(a^x\cdot a^y = a^{x+y}\).

Also \(q^{0.7+0.3}= q^1 = q\) und \(q^{-0.3+0.3}=q^0 = 1\). So erhältst du$$0.3\cdot q = 0.7 $$

Comments

Die Potenzregel hatte ich schon gefunden, und mir einen Zusammenhang gedacht, ich komme dennoch nicht auf die Lösung.

Ich habe es mit folgendem Beispiel gerechnet:

(5/3)⁰,⁷ = (3/5)⁰,³

(5/3)⁰,⁷ = (5/3)‐⁰,³

(5/3)⁰,⁷ ÷ (5/3)-⁰,³ = 1

Einzige logische Erklärung wäre für mich, dass man bei einer Division die Basis zusammenfasst und die beiden Potenzen subtrahiert:

(5/3)⁰,⁷‐(‐⁰,³) = 1

(5/3)^1=1

(5/3)=1

Ist die Regel richtig? Bisher habe ich nur die Regel gefunden, dass bei Multiplikation mit gleicher Basis die Potenzen addiert werden.

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@Janik24

(5/3)=1

Das ist doch offensichtlich falsch.

Bei Multiplikation von Potenzen mit gleicher positiver Basis a werden die Exponenten addiert. Dabei können die Exponenten beliebige reelle Zahlen sein - also auch negative Zahlen:
$$a^x \cdot a^y = a^{x+y}$$

Diese Regel enthält auch den Fall für Quotienten wie folgt:
$$\frac {a^x}{a^y}= {a^x}\cdot {a^{-y}}= a^{x-y}$$
Ich ergänze noch etwas diesbezüglich in meiner Antwort.

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Vielen Dank, jetzt habe ich dir einzelnen Regeln verstanden und sehe den Zusammenhang. Noch einen schönen Feiertag!