Aus (2) folgt \(0\cdot x \in I \) für jedes \(x\in I\). Wegen \(0\cdot x = 0\) für jedes \(x\in R\) und \(I\neq \emptyset\) folgt \(0\in I\). Zusammen mit (1) folgt, dass \((I,+)\) eine Untergruppe von \((R,+)\) ist.
In der Mathematik kommt es häufig vor, dass unterschiedliche Formulierungen des gleichen Sachverhalts existieren. Die eine Formulierung kann dann als Definition verwendet werden, die andere wird als Satz bewiesen.
Beispiel.
- \((U,\circ')\) ist eine Untergruppe von \((G,\circ)\) wenn \((U,\circ')\) eine Gruppe ist, \(U\subseteq G\) ist und \(\circ' = \circ|_{U\times U}\) ist.
- \((U,\circ')\) ist eine Untergruppe von \((G,\circ)\) wenn \(U\neq\emptyset\) ist, \(U\subseteq G\) ist, \(\circ': U\times U \to U\) mit \(u\circ' v = u\circ v\) für alle \(u,v\in U\) ist und für alle \(u\in U\) auch \(u^{-1}\in U\) ist.
Punkt 1 macht deutlich, warum \((U,\circ')\) Untegruppe genannt wird. Punkt 2 ist weniger zu rechnen. Beides führt aber zu den gleichen Untergruppen. Beides habe ich als Definition gesehen.
