Unterschiedliche Definitionen Ideal

Question

Hallo!

Ich arbeite gerade unser Algebra-Skript durch und da wird ein Ideal wie folgt definiert:

.Meine Frage ist allerdings, warum diese Definition anders ist als jene von Wikipedia und weiteren Seite, wo explizit gefordert ist, dass $(I, +)$ eine Untergruppe ist, so dass natürlich auch ein neutrales und inverse Elemente existieren müssen.

Habt ihr da eine Erklärung für, bzw. sind beide Definitionen, wenn auch ungleich, geltend in der Allgemeinheit?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aus (2) folgt $0\cdot x \in I$ für jedes $x\in I$. Wegen $0\cdot x = 0$ für jedes $x\in R$ und $I\neq \emptyset$ folgt $0\in I$. Zusammen mit (1) folgt, dass $(I,+)$ eine Untergruppe von $(R,+)$ ist.

In der Mathematik kommt es häufig vor, dass unterschiedliche Formulierungen des gleichen Sachverhalts existieren. Die eine Formulierung kann dann als Definition verwendet werden, die andere wird als Satz bewiesen.

Beispiel.

1. $(U,\circ')$ ist eine Untergruppe von $(G,\circ)$ wenn $(U,\circ')$ eine Gruppe ist, $U\subseteq G$ ist und $\circ' = \circ|_{U\times U}$ ist.
2. $(U,\circ')$ ist eine Untergruppe von $(G,\circ)$ wenn $U\neq\emptyset$ ist, $U\subseteq G$ ist, $\circ': U\times U \to U$ mit $u\circ' v = u\circ v$ für alle $u,v\in U$ ist und für alle $u\in U$ auch $u^{-1}\in U$ ist.
   

Punkt 1 macht deutlich, warum $(U,\circ')$ Untegruppe genannt wird. Punkt 2 ist weniger zu rechnen. Beides führt aber zu den gleichen Untergruppen. Beides habe ich als Definition gesehen.

Comments

Stimmt.

Das hatte ich nicht gesehen, vielen dank!

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Wie sichert man zu $x \in I$ die Existenz von$-x$?

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Gute Frage, ich kenne die Definition 2.5.1 oben nur in der Form
1) Für alle x,y ∈ I gilt x-y ∈ I.
(womit das Problem hinfällig ist).

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@mathhilf

Stimmt, dass ist eine gute Frage. Da muss ich dann wohl nochmal nachfragen, weil das wirklich unserer Definition ist...

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Möglich wärte, dass Ringe laut eurer Definition grundsätzlich ein neutrales Element der Multiplikation haben. Dann gilt

        $x\in I \implies -1\cdot x\in I\implies -x\in I$.

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Haben wir aber leider nicht vorausgesetzt... nur das der Ring kommutativ sein muss.