Es gilt 10^k ≡ (-1)^k (mod 11) für jedes k ∈ N

Question

Aufgabe:

Es gilt \( 10^{k} \)  ≡ \( (-1)^{k} \) (mod 11) für jedes k ∈ N

Problem/Ansatz:

Hab erstmal gesagt, dass es für k=1 gilt. Und danach gezeigt, dass es für ein bestimmtes k=n wahr ist, 10^n ≡ (-1)^n mod 11. Es soll also für k= n+1 wahr sein. Also \( 10^{n+1} \) ≡ \( (-1)^{n+1} \) mod 11.

Und dann halt einfach zeigen, dass dies gilt. Ist die Methode so okay oder falsch?

Comments

Du kannst das auch direkt zeigen. Nutze dazu den binomischen Lehratz:$$(x+y)^k=\sum_{l=0}^k\binom kl x^{k-l}y^l$$Setzte wegen \(10=11-1\):$$x=11\quad \text{und}\quad y=-1$$Du erhältst so:

$$10^k =(11-1)^k =$$$$\underbrace{11^k + \binom {11}1 11^{k-1}(-1)^1 + \cdots + \binom {11}{k-1} 11^{1}(-1)^{k-1} }_{\stackrel{= 11\cdot c_k}{\text{mit }c_k\in \mathbb Z}} + (-1)^k$$

Für jedes \(k\in \mathbb N\) gibt es also eine ganze Zahl \(c_k\) mit
$$10^k =11\cdot c_k + (-1)^k \Leftrightarrow 10^k \equiv (-1)^k\mod 11$$

p.s.:

Beim Beweisen von Teilbarkeitsaussagen kann der binomische Lehrsatz oft hilfreich sein.

Answer 1

Ja, Beweis per Vollständiger Induktion funktioniert.

Comments

Allerdings ist die verbale Beschreibung des Verfahrens der vollständigen Induktion durch FS verbesserungsbedürftig.

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Entschuldige die Nachfrage, aber was ist mit FS gemeint?

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Fragesteller:in