Warum suche ich die Nullstelle der Ableitung?

Question

Aufgabe:

Wenn ich eine ganz normale Funktion habe und den Hoch- oder Tiefpunkt berechnen will, bilde ich ja die 1 Ableitung und suche ihre Nullstelle um sie in die 2. Ableitung einsetzten zu können.

Die 1 Ableitung ist ja die Steigung. Kann mir jemand erklären, warum ich die Nullstelle der 1. Ableitung überhaupt berechne?

Ist der Grund, das bei einem HP bzw. TP immer die Steigung 0 ist und die Nullstelle der Punkt ist, wo Steigung 0 ist?

Comments

um sie in die 2 einsetzten zu können.

Diese Formulierung ist unverständlich. Man setzt die Nullstelle der ersten Ableitung in die Funktion ein, um den Hoch- oder Tiefpunkt zu finden.

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Ist es nicht. Nur, weil du es anscheinend nicht verstehst. Bevor man die Nullstelle der ersten Ableitung in die Funktion einsetzt, um die \(y\)-Koordinate des Extrempunktes zu bestimmen, setzt man sie erst in die zweite Ableitung ein, um überhaupt mal zu prüfen, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist. Nennt sich hinreichende Bedingung. Klappt nur nicht immer, vergleiche den letzten Absatz von Tschakabumbas Antwort.

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Sie ist auch unverständlich, wenn es so gemeint gewesen wäre, wie das Apfelmännchen es interpretiert hat.

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Bevor man die Nullstelle der ersten Ableitung in die Funktion einsetzt, um die y-Koordinate des Extrempunktes zu bestimmen, setzt man sie erst in die zweite Ableitung ein, um überhaupt mal zu prüfen, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.

Das muss man nicht machen. Es gibt nicht umsonst auch das Vorzeichenwechselkriterium. Es hängt leider von der Qualität des Lehrers ab, ob dieses auch besprochen wird oder nicht.

Lehrer gehen meiner Meinung nach oft nicht ausreichend darauf ein, dass wenn die 2. Ableitung beim Einsetzen Null ist und der Graph dort weder rechts- noch linksgekrümmt ist, dieses Verfahren keine Aussage über die Art des Extremums liefert und man eh ein anderes Verfahren zu Rate ziehen sollte.

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Das muss man nicht machen.

Ich sagte ja auch nirgends etwas von "müssen". Ich bezog mich ja direkt auf die Aussage des FS.

Es hängt leider von der Qualität des Lehrers ab, ob dieses auch besprochen wird oder nicht.

Das stimmt nicht, denn - zumindest für NRW - steht das VZW-Kriterium in der Einführungsphase auf dem Lehrplan, da die hinreichende Bedingung über die zweite Ableitung erst für die Qualifikationsphase vorgesehen ist. Es kann aber sein, dass Lehrer in der EF dann bereits beides machen.

Lehrer gehen meiner Meinung nach oft nicht ausreichend darauf ein, dass wenn die 2. Ableitung beim Einsetzen Null ist und der Graph dort weder rechts- noch linksgekrümmt ist, dieses Verfahren keine Aussage über die Art des Extremums liefert und man eh ein anderes Verfahren zu Rate ziehen sollte.

Das liegt meines Erachtens daran, dass man auch eher selten auf genau diesen Fall trifft und in den Abituraufgaben ist mir das bisher auch noch nicht untergekommen.

Answer 1

Aloha :)

Die erste Ableitung einer Funktion liefert die Information, wie stark die Funktion ansteigt oder abfällt. Wenn die erste Ableitung positiv ist, steigt die Funktion an. Wenn die erste Ableitung negativ ist, fällt die Funktion ab.

Vor einem Maximum wächst die Funktion an (Ableitung positiv) und hinter einem Maximum fällt die Funktion wieder ab (Ableitung negativ). Bei einem Maximum wird die Ableitung null und wechselt ihr Vorzeichen von Plus nach Minus.

Vor einem Mimimum fällt die Funktion ab (Ableitung negativ) und hinter einem Minimum steigt die Funktion wieder an (Ableitung positiv). Bei einem Minimum wird die Ableitung null und wechselt ihr Vorzeichen von Minus nach Plus.

Es kann auch sein, dass die erste Ableitung an einer bestimmten Stelle gleich null wird, aber ihr Vorzeichen nicht wechselt. Zum Beispiel ist die Ableitung der Funktion \(f(x)=x^3\) gleich \(f'(x)=3x^2\). An der Stelle \(x=0\) ist die Ableitung gleich null. Aber wegen dem Quadrat ist die Ableitung vor und hinter \(x=0\) positiv. Das heißt, die Funktion \(f(x)=x^3\) steigt vor dem Punkt \(x=0\) an, hat bei \(x=0\) die Steigung null, steigt aber hinter \(x=0\) weiter an. Wenn die erste Ableitung zwar eine Nullstelle hat, aber ihr Vorzeichen nicht wechselt, hast du kein Maximum oder Minimum vorliegen.

Comments

f(x)=x3 gleich \(f'(x)=3x^2\)

Gibt es auch andere Beispiele an Funktionen?

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Alle Funktionen, die zum Beispiel eine dreifache Nullstelle haben.

\(f(x)=(x-1)^3(x-5)\) oder ähnliche.

Answer 2

Ja, genau deshalb, die Steigung ist dort Null

Answer 3

Ich habe dir den Sachverhalt mal in einer Zeichnung zum besseren Verständnis aufgeführt:

Comments

Das ist didaktisch fahrlässig, denn dass hier die Extremstelle mit der Nullstelle der Ableitung zusammenfällt, kann auch einfach Zufall sein. Das heißt, hier wird gar nicht geklärt, warum das so ist, sondern lediglich, dass es so ist. Damit baut man aber gerade kein Verständnis auf.

Besseres Verständnis hätte man aufbauen können, hätte man erläutert, dass die Steigung am Graphen an einer Stelle mit der Tangentensteigung an dieser Stelle übereinstimmt. Dann lässt sich nämlich sofort einsehen, warum bei Extrempunkten die Steigung 0 sein muss: es liegt nämlich immer eine waagerechte Tangente vor. Des Weiteren hätte man damit auch direkt den Fall des Sattelpunkts abdecken können.