Suche eine Beispielabbildung zur Stetigkeit

Question

Mir ist bekannt, dass eine Funktion, welche gleichmäßig stetig ist, Cauchy-Folgen abbildet (in metrischen Räumen).

Ich versuche gerade mittels eines Gegenbeispiels zu beweisen, dass das nicht der Fall sein muss, wenn die Funktion lediglich stetig ist. Mir fällt aber keine stetige Funktion ein, die dies erfüllt.

Habt ihr vielleicht eine Funktion im Sinn oder ist meine Vermutung falsch?

Answer 1

Die Funktion \(f:\mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}^{+}\), gegeben durch \(f(x)=\frac{1}{x}\) ist stetig (aber nicht gleichmäßig stetig), und die Cauchy-Folge \(a_n = \frac{1}{n}\) wird auf die divergente Folge \((\frac{1}{a})_n=n\) abgebildet.

Comments

besten Dank für deine Antowort! Könntest du vielleicht erklären, we du darauf kommt, dass sie auf die Folge $$(\frac{1}{a})_n=n$$ abgebildet wird? 1/n an sich konvergiert doch...

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Habs schon. Trotzdem vielen Dank nochmal