Stetigkeit einer Funktion ℝ^2 auf ℝ beweisen

Question

Hallo, ich habe die Funktion $$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto\left\{\begin{array}{l} \frac{x \cdot y}{x^{2}+y^{2}} \text { für } x \neq 0 \text { oder } y \neq 0 \\ 0 \text { für } x=0 \text { und } y=0 \end{array}\right.$$ und soll einerseits zeigen, dass f bezüglich der Standardmetrik von ℝ überall stetig ist, außer in (0, 0), wo sie unstetig ist, andererseits soll ich eine Metrik auf ℝ² angeben, bezüglich derer f stetig wird.

Leider komme ich hierbei nicht weiter und frage mich, ob mir hier jemand helfen kann.

MfG

Answer 1

Hallo,

sei$$f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto\left\{\begin{array}{l} \frac{x \cdot y}{x^{2}+y^{2}} \text { für } x \neq 0 \text { oder } y \neq 0 \\ 0 \text { für } x=0 \text { und } y=0 \end{array}\right.$$ Schreibe in Polarkoordinaten, also \(x\) als \(x=r\cdot \cos \varphi\) und \(y=r \sin \varphi\) und \(r^2=x^2+y^2\). Interessant ist nur, was passiert,wenn \((x,y)\to (0,0)\). In Polarkoordinaten:$$\lim\limits_{r\to 0}\frac{r^2\sin\varphi \cos \varphi}{r^2}=\lim\limits_{r\to 0}\sin\varphi \cos \varphi=\sin\varphi \cos \varphi$$ Da dieser Grenzwert vom Winkel \(\varphi\), von dem man sich an \((0,0)\) annhähert, abhängt, ist \(f\) in \((0,0)\) nicht stetig.

Nicht nur \(f\), sondern jede Funktion ist bzgl. der diskreten Metrik stetig.