Hallo,
für \(x,y \in \mathbb{R}^n\) und \(a \in A\) gilt:
$$d(x,A) \leq \|x-a \| \leq \|x-y\| + \| y-a\|$$
Also ist \(d(x,A) \) eine untere Schranke für alle Zahlen \( \|x-y\| + \| y-a\|\) mit \(a \in A\). Nun ist das Infimum die größte untere Schranke, also
$$d(x,A) \leq \inf \{ \|x-y\| + \| y-a\| \mid a \in A\}=\|x-y\| + d(y,A)$$
Also
$$d(x,A)-d(y,A) \leq \|x-y\|$$
Jetzt schreibst Du das ganze erneut auf, wobei Du x und y vertauschst und erhältst insgesamt, dass die Lipschitz-Konstante gleich 1 ist.
Gruß