Question

Lipschitzstetigkeit im metrischen Raum beweisen

Gegeben ist:

nicht leere Menge $A \subset \mathbb{R}^n, \, x \in \mathbb{R}^n$

$d(x,A) := inf\{||x - y||_{2} \, : \, y \in A\}$

Wie kann ich beweisen das folgender Ausdruck Lipschitzstetig ist:

$d(\cdot, A): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \, x \mapsto d(x, A)$

Answer 1

Hallo,

für $x,y \in \mathbb{R}^n$ und $a \in A$ gilt:

$$d(x,A) \leq \|x-a \| \leq \|x-y\| + \| y-a\|$$

Also ist $d(x,A)$ eine untere Schranke für alle Zahlen $\|x-y\| + \| y-a\|$ mit $a \in A$. Nun ist das Infimum die größte untere Schranke, also

$$d(x,A) \leq \inf \{ \|x-y\| + \| y-a\| \mid a \in A\}=\|x-y\| + d(y,A)$$

Also

$$d(x,A)-d(y,A) \leq \|x-y\|$$

Jetzt schreibst Du das ganze erneut auf, wobei Du x und y vertauschst und erhältst insgesamt, dass die Lipschitz-Konstante gleich 1 ist.

Gruß

Comments

Danke, das hat mir sehr geholfen. Bist du der selbe MathePeter, der mir schon so oft auf Youtube mit seinen Videos geholfen hat? :)

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Nein, bin ich nicht