Aloha :)
Die stationären Punkte sind die kritischen Punkte, bei denen Extremwerte vorliegen können.$$L(x,y,\lambda)=x^3-\sqrt{18}y+\lambda\left(x^2-y^2-1\right)\quad;\quad x\ge1$$$$0\stackrel{!}{=}\frac{\partial L}{\partial x}=3x^2+2\lambda x\quad\Rightarrow\quad2\lambda=-3x$$$$0\stackrel{!}{=}\frac{\partial L}{\partial y}=-\sqrt{18}-\underbrace{2\lambda}_{=-3x}\cdot y=-\sqrt{18}+3xy\;\;\Rightarrow\;\;3xy=\sqrt{18}\;\;\Rightarrow\;\;y=\frac{\sqrt2}{x}$$$$0\stackrel{!}=\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^2-y^2-1=x^2-\left(\frac{\sqrt2}{x}\right)^2-1=x^2-\frac{2}{x^2}-1$$Die letzte Gleichung können wir nach \(x\) auflösen:$$\left.x^2-\frac{2}{x^2}-1=0\quad\right|\;\cdot x^2$$$$\left.x^4-x^2-2=0\quad\right|\;(-2)\cdot1=-2\;;\;(-2)+1=-1$$$$\left.(x^2-2)(x^2+1)=0\quad\right|\;:(x^2+1)$$$$\left.x^2-2=0\quad\right|\;+2$$$$\left.x^2=2\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.x=\sqrt2\quad\right|\;\text{Beachte: }x\ge1$$Wegen \(y=\frac{\sqrt2}{x}=1\) haben wir einen stationären Punkt gefunden:$$\boxed{S(\sqrt2|1)}$$
