Bestimmen Sie die stationären Punkte einer Funktion, über dem Teil der Hyperbel ...

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion

 f(x,y) = \( x^{3} \) - 3\( \sqrt{2} \) y  über dem Teil der Hyperbel

\( x^{2} \) - \( y^{2} \)=1 , für den x ≥ 1 gilt.

Ansatz:
Hier komme ich gar nicht voran.
Verstehe nicht wie ich hier überhaupt anfangen soll.

Wäre für einen kompletten Lösungsweg dankbar.

Answer 1

Aloha :)

Die stationären Punkte sind die kritischen Punkte, bei denen Extremwerte vorliegen können. Da wir hier eine Nebenbedingung haben, bietet sich der Lagrange-Formalismus zur Lösung an.$$L(x,y,\lambda)=x^3-\sqrt{18}y+\lambda\left(x^2-y^2-1\right)\quad;\quad x\ge1$$$$0\stackrel{!}{=}\frac{\partial L}{\partial x}=3x^2+2\lambda x\quad\Rightarrow\quad2\lambda=-3x$$$$0\stackrel{!}{=}\frac{\partial L}{\partial y}=-\sqrt{18}-\underbrace{2\lambda}_{=-3x}\cdot y=-\sqrt{18}+3xy\;\;\Rightarrow\;\;3xy=\sqrt{18}\;\;\Rightarrow\;\;y=\frac{\sqrt2}{x}$$$$0\stackrel{!}=\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^2-y^2-1=x^2-\left(\frac{\sqrt2}{x}\right)^2-1=x^2-\frac{2}{x^2}-1$$Die letzte Gleichung können wir nach \(x\) auflösen:$$x^2-\frac{2}{x^2}-1=0\quad\Leftrightarrow\quad x^4-x^2-2=0\quad\Leftrightarrow\quad(x^2-2)(x^2+1)=0$$Wegen \(x\ge1\) kommt nur die Lösung \(x=\sqrt2\) in Betracht. Der stationäre Punkt ist:$$\boxed{S(\sqrt2|1)}$$

Comments

Danke, das war sehr Hilfreich.