Parameterdarstellung von Kurven (Trigonometrische Terme)

Question

Aufgabe:

Hallo Zusammen,

ich probiere mich jetzt schon sein ein paar Tagen an einer Aufgabe, die ich einfach nicht gelöst bekommen. Vermutlich habe ich in meiner Rechnung einen Denk- und/oder Rechenfehler. Der Aufgabentyp sind Parameterdarstellungen von Kurven.

f₁(t) = sin(t) * cos(t)

f₂(t) = \( sin^{2} \) (t)

Lösung im Buch: R(x) = \( \frac{1}{2} \) ± \( \sqrt{ \frac{1}{4} - x^2} \(t)

Quelle: Lothar Kusch, Heinz Jung, Karlheinz Rüdiger: Kusch Mathematik 3 - Differentialrechnung Aufgabensammlung und Lösungen, Auflage 9, 1995, Berlin, Cornelsen Verlag, Seite 71, Aufgabe 11

Problem/Ansatz:

Um f₁(t)  in f₂(t) integrieren zu können habe ich zu Anfang damit begonnen, die Aufgabe f₁(t) nach t umzustellen. Das Ergebnis hat mir nicht sonderlich geholfen. Im Lehrbuch wird dieser Aufgabentyp dadurch gelöst, dass man f₁(t) so umgestellt, dass man f₂(t) parameterfrei bekommt. Hier das Beispiel aus dem Lehrbuch:

f1(t) = 3*cos(t)   ↦ x = 3 * cos(t)    ↦  \( \frac{x}{3} \) = cos(t)

f2(t) = 3*sin(t)    ↦ y = 3 * sin(t)    ↦ y = 3 * \( \sqrt{1 - cos^{2}(t)} \)

Anschließend kann man in f₂(t)  für cos^{2}(t) die Substitution \( \frac{x}{3} \) einsetzen und den Term anschließend vereinfachen.

In meiner oben gestellten Aufgabe bekommen ich das irgendwie nicht hin. Ich habe bereits verschiedene Ansätze versucht, aber ich komme nicht exakt auf das Ergebnis im Buch (siehe oben). Mein bester Ansatz ist wie folgt:

f₁(t) = sin(t) * cos(t)

x = sin(t) * cos(t)             | quadrieren

x^2 = sin^2(t) * cos^2(t)                                sin^2(t) * cos^2(t) ↦ cos(2t)

x^2 = cos(2t)

Jetzt stelle ich die Funktion f2(t) ebenfalls um:

f2(t) = sin^2(t)

y = sin^2(t)                                                      sin^2(t) ↦ \( \frac{1}{2} \) * (1 - cos(2t))

y = \( \frac{1}{2} \) * (1 - cos(2t))

Jetzt kann ich für cos(2t) das Substitut x^2 einsetzen und erhalte folgendes Ergebnis:

y = \( \frac{1}{2} \) * (1 - x^2)

Näher an das Ergebnis komme ich einfach nicht. Ich bin sämtliche trigonometrische Formelsammlungen durchgegangen und gehofft, dass ich etwas finde.

Auch die Doppelwinkelfunktion sin(t) * cos(t) ↦ \( \frac{1}{2} \) sin(2t) habe ich probiert und bin ebenfalls nicht weitergekommen. So langsam werde ich wahnsinnig. Sehr wahrscheinlich ist der Lösungsweg bestimmt simpel und ich sehe ihn einfach nicht. Vielleicht ist bei der Umstellung auch ein Rechenfehler aufgetreten, den ich einfach nicht sehen will.

Für eure Hilfe und einen Denkanstoß wäre ich euch sehr dankbar.

Liebe Grüße

Thorsten

Answer 1

Hey Thorsten,

setze der Einfachheit halber

\(x=\sin(t)\cos(t)\)

\(y=\sin^2(t)\).

Verwende den trigonometrischen Pythagoras, das heißt \(\cos^2(t)=1-\sin^2(t)=1-y\).

Du solltest dann

\(x^2=\sin^2(t)\cos^2(t)=y(1-y)\) erhalten.

Löse das nach \(y\) auf und unter Anwendung der pq-Formel erhältst du die gewünschte Lösung.

Answer 2

Woher nimmst du die Gleichheit sin^2(t) * cos^2(t) = cos(2*t)?

Das ist leider verkehrt.

x^2 = sin^2(t) * cos^2(t)

mit sin^2(t) + cos^2(t) = 1 --> cos^2(t) = 1 - sin^2(t) ergibt sich

x^2 = sin^2(t) * (1 - sin^2(t))

mit y = sin^2(t) ergibt sich

x^2 = y * (1 - y) = y - y^2

y^2 - y + x^2 = 0

mit pq Formel ergibt sich

y = 1/2 ± √(1/4 - x^2)

und das ist jetzt genau die Lösung aus dem Buch.

Comments

@am Er hat ja schonmal gesagt, dass er andere Antworten nicht liest (da fehle ihm die Zeit (genauso wie für LaTeX)...). Die Zeit zu zeigen, was man selbst kann, ist aber da, auch bei zig Jahre alten Fragen.

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1. Ich hatte meine Antwort begonnen bevor die Antwort von AM zu lesen gewesen ist.

2. Habe ich den FS auf seinen gemachten Fehler hingewiesen. Was AM wie ich gerade sehe nicht gemacht hat.

3. Habe ich in der Tat die Rechnung gemacht. Das ist ja nicht nur zum Vergleich für den Fragesteller sondern auch für mich, ob man so auf das richtige Ergebnis kommt.

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Warum immer "Vergleich"? Es gibt verschiedene Lösungswege, und ein Vergleich bringt die Lernenden nur auf die Idee, dass der Lösungsweg so aussehen muss. Schade, dass Du Lernende nicht ermuntern möchtest, eigene Wege zu finden.

Und "auch für Dich": Was für Dich ist, gehört hier nicht hin. Glaubst Du nicht, dass apfelmännchen und andere Helfer ihre Antworten vor dem Posten auch selbst prüfen?

Und bestimmt postet demnächst noch jemand eine Antwort mit quadratischer Ergänzung...

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Und bestimmt postet demnächst noch jemand eine Antwort mit quadratischer Ergänzung.

Keine Bange! Diesmal nicht.