Parameterdarstellung von Kurven (Trigonometrische Terme)

Question

Aufgabe:

Hallo Zusammen,

ich probiere mich jetzt schon sein ein paar Tagen an einer Aufgabe, die ich einfach nicht gelöst bekommen. Vermutlich habe ich in meiner Rechnung einen Denk- und/oder Rechenfehler. Der Aufgabentyp sind Parameterdarstellungen von Kurven.

f₁(t) = sin(t) * cos(t)

f₂(t) = \( sin^{2} \) (t)

Lösung im Buch: R(x) = \( \frac{1}{2} \) ± \( \sqrt{ \frac{1}{4} - x^2} \(t)

Quelle: Lothar Kusch, Heinz Jung, Karlheinz Rüdiger: Kusch Mathematik 3 - Differentialrechnung Aufgabensammlung und Lösungen, Auflage 9, 1995, Berlin, Cornelsen Verlag, Seite 71, Aufgabe 11

Problem/Ansatz:

Um f₁(t)  in f₂(t) integrieren zu können habe ich zu Anfang damit begonnen, die Aufgabe f₁(t) nach t umzustellen. Das Ergebnis hat mir nicht sonderlich geholfen. Im Lehrbuch wird dieser Aufgabentyp dadurch gelöst, dass man f₁(t) so umgestellt, dass man f₂(t) parameterfrei bekommt. Hier das Beispiel aus dem Lehrbuch:

f1(t) = 3*cos(t)   ↦ x = 3 * cos(t)    ↦  \( \frac{x}{3} \) = cos(t)

f2(t) = 3*sin(t)    ↦ y = 3 * sin(t)    ↦ y = 3 * \( \sqrt{1 - cos^{2}(t)} \)

Anschließend kann man in f₂(t)  für cos^{2}(t) die Substitution \( \frac{x}{3} \) einsetzen und den Term anschließend vereinfachen.

In meiner oben gestellten Aufgabe bekommen ich das irgendwie nicht hin. Ich habe bereits verschiedene Ansätze versucht, aber ich komme nicht exakt auf das Ergebnis im Buch (siehe oben). Mein bester Ansatz ist wie folgt:

f₁(t) = sin(t) * cos(t)

x = sin(t) * cos(t)             | quadrieren

x^2 = sin^2(t) * cos^2(t)                                sin^2(t) * cos^2(t) ↦ cos(2t)

x^2 = cos(2t)

Jetzt stelle ich die Funktion f2(t) ebenfalls um:

f2(t) = sin^2(t)

y = sin^2(t)                                                      sin^2(t) ↦ \( \frac{1}{2} \) * (1 - cos(2t))

y = \( \frac{1}{2} \) * (1 - cos(2t))

Jetzt kann ich für cos(2t) das Substitut x^2 einsetzen und erhalte folgendes Ergebnis:

y = \( \frac{1}{2} \) * (1 - x^2)

Näher an das Ergebnis komme ich einfach nicht. Ich bin sämtliche trigonometrische Formelsammlungen durchgegangen und gehofft, dass ich etwas finde.

Auch die Doppelwinkelfunktion sin(t) * cos(t) ↦ \( \frac{1}{2} \) sin(2t) habe ich probiert und bin ebenfalls nicht weitergekommen. So langsam werde ich wahnsinnig. Sehr wahrscheinlich ist der Lösungsweg bestimmt simpel und ich sehe ihn einfach nicht. Vielleicht ist bei der Umstellung auch ein Rechenfehler aufgetreten, den ich einfach nicht sehen will.

Für eure Hilfe und einen Denkanstoß wäre ich euch sehr dankbar.

Liebe Grüße

Thorsten

Answer 1

Hey Thorsten,

setze der Einfachheit halber

\(x=\sin(t)\cos(t)\)

\(y=\sin^2(t)\).

Verwende den trigonometrischen Pythagoras, das heißt \(\cos^2(t)=1-\sin^2(t)=1-y\).

Du solltest dann

\(x^2=\sin^2(t)\cos^2(t)=y(1-y)\) erhalten.

Löse das nach \(y\) auf und unter Anwendung der pq-Formel erhältst du die gewünschte Lösung.

Comments

Hallo Apfelmännchen, vielen Dank für deine mehr als schnelle Antwort. Es tut mir sehr leid, dass ich mich erst heute melde. Kurz nach meiner Frage sind wir auf einen Geburtstag gefahren und erst spät am Abend wieder zurück gekommen.

Der trigonometrische Pythagoras ist für mich ein Begriff und einer meiner Ansätze beinhaltete ihn auch. Ich habe die Idee aber wieder verworfen, da es mir nicht gelungen ist, die Formel korrekt umzustellen. Ich hatte auch bereits f₁(t) in x umgestellt, ebenso f₂(t) in y. Dennoch wäre ich auf deinen beschriebenen Ansatz nie gekommen, da ich nach dem Hauptbuch gegangen bin und dort wurde beschrieben, erst f₁(t) entsprechend umzustellen und dann in f₂(t) einzusetzen. Dies wollte mir einfach nicht gelingen. Du kannst dir nicht vorstellen, wie häufig ich die Variablen auf beiden Seiten verschoben habe, weil ich zu sehr nach dem Beispiel im Buch gegangen bin.

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Du solltest dir für die Zukunft merken, dass es nie den einen Lösungsweg gibt. Manchmal geht es wesentlich einfach, manchmal gibt es einen Trick, manchmal muss man Umwege gehen. Das weiß man oft vorher nicht, kommt aber mit der Zeit und Erfahrung. Daher ist es umso wichtiger, selbstständig viele verschiedene Ansätze auszuprobieren, da man dadurch jede Menge lernen kann. Was dir natürlich auch etwas zum Verhängnis wurde, ist die Tatsache, dass du eine falsche Identität genutzt hast, denn

\(\sin^2(t)\cos^2(t)=\cos(2t)\)

gilt schlichtweg nicht. Um Fehler zu vermeiden, ist es also immer sinnvoll, zu prüfen, ob die verwendeten Identitäten tatsächlich gelten, auch wenn man meint, die ein oder andere Identität auswendig zu können.

Ich habe übrigens in dem Buch gelesen, dass sie das schlichtweg geometrisch begründet haben, also dass es sich hier lediglich um einen verschobenen Kreis mit dem Radius \(\frac{1}{2}\) handelt und die Parametrisierung von Kreisen ist relativ einfach. Das kann man natürlich machen, aber man möchte ja auch verstehen, warum das so ist. Daher gab es dann auch keine weitere Rechnung in dem Buch.

Grundsätzlich sollte man nie aufgeben und verschiedene Ansätze durchprobieren. Dabei können übrigens auch Tools wie WolframAlpha helfen, um bestimmte Dinge zu prüfen. Dabei stößt man dann oft schon auf selbstgemachte Fehler oder bekommt zumindest ein Gefühl dafür, ob man auf dem richtigen Weg ist oder nicht.

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Das mir bei der Identität ein Fehler passiert ist, ist mir gerade eben auch aufgefallen. Als ich den Link zu Formelsammlung für Der_Mathecoach nach der Formel gesucht habe, ist mir der Fehler selbst aufgefallen. Wie in seinem Kommentar beschrieben, habe ich in der Nacht die Formelsammlung mit dem Smartphone aufgerufen und dort sah die Subtraktion wie eine Multiplikation aus. Heute auf dem großen Monitor war es eindeutig. Allerdings wäre mit allen Formelsammlungen dieser Welt nicht auf deinen Rechenweg gekommen. Ich war viel zu versteift, die Gleichung konventionell umzuschreiben.

Answer 2

Woher nimmst du die Gleichheit sin^2(t) * cos^2(t) = cos(2*t)?

Das ist leider verkehrt.

x^2 = sin^2(t) * cos^2(t)

mit sin^2(t) + cos^2(t) = 1 --> cos^2(t) = 1 - sin^2(t) ergibt sich

x^2 = sin^2(t) * (1 - sin^2(t))

mit y = sin^2(t) ergibt sich

x^2 = y * (1 - y) = y - y^2

y^2 - y + x^2 = 0

mit pq Formel ergibt sich

y = 1/2 ± √(1/4 - x^2)

und das ist jetzt genau die Lösung aus dem Buch.

Comments

@am Er hat ja schonmal gesagt, dass er andere Antworten nicht liest (da fehle ihm die Zeit (genauso wie für LaTeX)...). Die Zeit zu zeigen, was man selbst kann, ist aber da, auch bei zig Jahre alten Fragen.

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1. Ich hatte meine Antwort begonnen bevor die Antwort von AM zu lesen gewesen ist.

2. Habe ich den FS auf seinen gemachten Fehler hingewiesen. Was AM wie ich gerade sehe nicht gemacht hat.

3. Habe ich in der Tat die Rechnung gemacht. Das ist ja nicht nur zum Vergleich für den Fragesteller sondern auch für mich, ob man so auf das richtige Ergebnis kommt.

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Warum immer "Vergleich"? Es gibt verschiedene Lösungswege, und ein Vergleich bringt die Lernenden nur auf die Idee, dass der Lösungsweg so aussehen muss. Schade, dass Du Lernende nicht ermuntern möchtest, eigene Wege zu finden.

Und "auch für Dich": Was für Dich ist, gehört hier nicht hin. Glaubst Du nicht, dass apfelmännchen und andere Helfer ihre Antworten vor dem Posten auch selbst prüfen?

Und bestimmt postet demnächst noch jemand eine Antwort mit quadratischer Ergänzung...

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Und bestimmt postet demnächst noch jemand eine Antwort mit quadratischer Ergänzung.

Keine Bange! Diesmal nicht.

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Hallo Der_Mathecoach,

die Gleichheit ist eindeutig falsch. Ich habe zu Beginn meiner Lösungsfindung mit dem Smartphone nach Formelsammlungen im Bereich Trigonometrie gesucht und bin dabei auf folgende Sammlung gestoßen:

http://www.falk-net.de/ingo/fhma/mathematik/docus/ma_formelsammlung.pdf

In der linken Spalte der ersten Seite bei Rubrik "Auflösung doppelter Winkel" hatte ich die Formel gefunden. Auf dem Smartphone sah die Subtraktion wie eine Multiplikation aus. Als ich mir die Formelsammlung heute auf dem großen Monitor angesehen habe, ist mir der Fehler aufgefallen. Ich muss ehrlich sagen, dass ich mich bei der Term-Umformung etwas gewundert hatte, weil nach der Umformung mehr heraus kam, als eigentlich hätte da sein dürfen. Anscheinend habe ich mitten in der Nacht beim lösen der Aufgaben das gesehen, was ich sehen wollte. :-(

Auch bei dir möchte ich mich sehr für die schnelle und tolle Lösung bedanken. Ich hoffe auch immer noch, dass bald der Tag kommt, wo ich nicht mehr so dumme Fragen stellen werde.

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Ich hätte da noch eine andere Frage, die bestimmt schnell beantwortet sein sollte. Zusätzlich zur Lösung gibt es bei der Aufgabe noch eine Wertetabelle (Anzahl der Spalten ist verkürzt:

t	0	0,25	0,5
sin(t) * cos(t)	0	0,24	0,42
sin^2 (t)	0	0,06	0,23

Wenn ich mit dem Taschenrechner z.B.

sin(0,25) * cos(0,25)

eingebe, dann sollte lt. Tabelle der Wert 0,24 heraus kommen. Bei mir kommt hier aber 0,0044 (gerundet) heraus. Was mache ich falsch?

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Verwende Formelsammlungen mit gescheitem Formelsatz:

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Doppelwinkelfunktionen

Die sind erst einmal optisch ansprechender und sind weniger anfällig für Ablesefehler.

Es gibt übrigens keine dummen Fragen. Es fehlt einfach noch einiges an Übung und Routine. Darüber hinaus hast du vielen schon einiges voraus: du beschäftigst dich zunächst selbstständig mit den Aufgaben. Und es ist völlig normal, dass man manchmal den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sieht.

Anscheinend habe ich mitten in der Nacht beim lösen der Aufgaben das gesehen, was ich sehen wollte.

Manchmal hilft es auch, einfach mal eine Pause einzulegen und sich dann am nächsten Tag noch einmal an die Aufgabe zu setzen. Irgendwann ist auch die Luft raus, wobei ich ja gestehen muss, dass mir damals im Studium viele Einfälle nachts im Bett gekommen sind und ich dann eben doch nicht geschlafen habe. ;)

Zur anderen Frage: Stelle deinen Taschenrechner auf Rad um. Beim Rechnen mit trigonometrischen Funktionen solltest du immer darauf achten, ob du mit Winkeln (Deg) oder dem Radiant (Rad) rechnen möchtest. Letzteres nutzt man, wenn man die Winkelfunktionen wirklich als Funktionen betrachtet.

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Ich möchte mich auch nochmals bei allen beteiligten ganz herzlich bedanken. Ihr habt mir sehr geholfen und ohne euch wäre nie auf die Lösung gekommen. Ich hatte es schon Apfelmännchen geschrieben, dass ich so darauf versteift gewesen bin die Funktion f₁(t) umzuschreiben, dass ich nie auf die Idee gekommen wäre, f₂(t) in f₁(t) einzubauen. Damit hätte ich mir einiges an Arbeit und Zeit ersparen können.

Ich kann überhaupt nicht genug sagen, wie unendlich dankbar ich euch allen bin. :-)

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Wenn ich mit dem Taschenrechner z.B.

sin(0,25) * cos(0,25)

eingebe, dann sollte lt. Tabelle der Wert 0,24 heraus kommen. Bei mir kommt hier aber 0,0044 (gerundet) heraus. Was mache ich falsch?

Dann hast du deinen Taschenrechner nicht auf das Bogenmaß (RAD) gestellt, sondern rechnest im Gradmaß (DEG).

Gerade Schülern empfehle ich vor der Benutzung des Taschenrechners sicherzustellen, dass er im richtigen Winkelmaß steht.

Es gab mal eine Abiturklausur, da musste innerhalb einer Aufgabenstellung mehrmals das Winkelmaß gewechselt werden.

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Ich danke euch beiden für eure Hilfe und eure Motivation vom ganzen Herzen. Das hört sich gerade etwas sentimental an, aber ohne euch und das Forum hätte ich schon längst hingeschmissen. Bei mir in der Gegend gibt es niemanden den ich fragen kann. Umso mehr bin ich glücklich, dieses Forum gefunden zu haben und hoffe auf den Tag, wo ich selbst anderen so gut helfen kann, wie ihr beide. :-) Sehr wahrscheinlich wird noch einiges an Zeit ins Land gehen, aber ich bin auf dem richtigen Weg.

Übrigens...die Umstellung des Taschenrechners auf RAD hat geholfen. Bis jetzt habe ich mit diesen Funktionen noch nie gearbeitet und hätte ohne eure Hilfe und Erklärung weiter geraten.

Ich bleibe weiter dran und werde bestimmt noch die eine oder andere Frage in der Zukunft stellen. In den nächsten Kapiteln geht es um Polynomdivision und anschließend kommen dann die Ableitungen. Zuvor werde ich das Kapitel Trigonometrie noch mal durcharbeiten und die letzten Wissenslücken schließen.