Beweis für min M und max M?

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle M:=\left\{\left.\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{2^{n}} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\} \)

Ganz simple Frage, hat jemand einen kurzen und sinnvollen Beweis um den min M und max M zu bestimmen?

Problem/Ansatz:

Den min M hab ich mit Induktion gezeigt, würde aber viel Zeit in der Klausur fressen und max kann ich irgendwie nicht nachweisen, komme da nicht weiter. zz wär, dass n=3 max ist.

Comments

zz wär, dass n=3 max ist.

Besser: für \(n=3\) wird das Minimum erreicht. Achte auf solche Formulierungen. Nicht nur für dein eigenes Verständnis, sondern auf für das der anderen.

Answer 1

Da bereits für \(n>1\) alle weiteren Elemente kleiner als für \(n=1\) sein müssen, da \(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{2^n}<\frac{1}{n^2}\), ist klar, dass für \(n=1\) das Maximum erreicht ist.

Nutze außerdem den Umstand, dass \(n^2\leq 2^n\) für \(n\geq 4\) gilt. Was folgt damit für die Folgenglieder ab \(n\geq 4\) und folglich für das Minimum?

Comments

Hab es mit einem Induktionbeweis jeweils jetzt geschafft, ich denke mal das ist in Ordnung, danke für die Hilfe!

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Einen Induktionsbeweis braucht man hier doch gar nicht, es sei denn, man hat die Ungleichung \(n^2\leq 2^n\) in der Vorlesung noch nicht gezeigt. Das könnte man dann noch mit Induktion zeigen.

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genau das habe ich gemeint :D und dann noch ein IB für den max, bin mir nie sicher wie explizit die das haben wollen

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Für das Maximum brauchst du tatsächlich keinen, denn \(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{2^n}<\frac{1}{n^2}<\frac{1}{2}\) für \(n\geq 2\) ist offensichtlich.

In der Regel muss es nur mathematisch korrekt argumentiert sein. Resultate aus der Vorlesung dürfen dabei natürlich verwendet werden.

Answer 2

Du könntest die ersten Glieder der Folge ausrechnen und bereits eine Vermutung anstellen.

an = 1/n^2 - 1/2^n

a1 = 1/1 - 1/2 = 1/2
a2 = 1/4 - 1/4 = 0
a3 = 1/9 - 1/8 = - 1/72
a4 = 1/16 - 1/16 = 0
a5 = 1/25 - 1/32 = 7/800

Jetzt könnte ich dir schon sagen das 1/2 das Maximum ist und - 1/72 das Minimum. Warum kann es also keinen Wert der Folge geben der Größer ist als 1/2 und der kleiner ist als - 1/72. Das müsstest du begründen.

Comments

Die Begründung suche ich ja, zuerst dachte ich an einem Induktionsbeweis, der hat mich auch weitergebracht, zumindest beim max M, aber beim min M komme ich nicht weiter. Und ein Induktionsbeweis ist keine elegante Lösung, hättest du eine Idee wie ich den max und min anders beweisen kann?

(Außerdem habe ich in meinem Beitrag im letztem Satz max und min vertauscht, meine natürlich min M für n =3)

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Zunächst sind 1/n^2 und 1/2^n immer positive Werte.

Etwas Größeres als 1/2 kann nicht herauskommen, weil bereits 1/n^2 für n ≥ 2 kleiner ist als 1/2 ist und wenn ich davon noch etwas Positives subtrahiere, wird es ja nicht größer, sondern nur noch kleiner.

Für n > 4 ist der Wert des zweiten Bruches auf jeden Fall kleiner als der Wert des ersten Bruches, sodass bei der Differenz etwas Positives herauskommt. Damit kann auch die Differenz nicht mehr kleiner als - 1/72 werden.

Ich denke, das ist als Beweis verständlich. Wenn du etwas nicht verstehst, frage aber gerne nach.

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nudger “Das war doch nicht die Frage.

Wenn du es nicht für die Frage hältst, steht es dir frei eine eigene bessere Antwort zu schreiben.

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Ob "das" die Frage ist, ist keine Ansichtssache. Und wenn dir nichts bessere einfällt als eine nicht gestellte Frage zu beantworten, musst Du ja nicht auf diese hier antworten.