Hallo liebe Community.
Ich hätte einmal eine Frage zu einer Aufgabe, die ich gelöst habe.
Aufgabe: Sei f ein Polynom in Q[x] (also rational) vom Grad 3 und K sein Zerfällungskörper über Q. Zu zeigen ist, dass jede Nullstelle von f reell ist.
Meine Idee:
Falls f eine rationale Nullstelle c hätte, so würde f über Q in die Form f = (x-c) g mit g in Q[x] quadratisch zerfallen.
Wir unterscheiden zwei Fälle:
- Falls g auch eine rationale Nullstelle hat, also über Q reduzibel ist, dann ist insgesamt Q der Zerfällungskörper, also K = Q, doch dann gilt aber [K : Q] = 1.
- Falls g in Q irreduzibel ist, dann würden g nach der quadratischen Lösungsformel die zwei komplexe Nullstellen v,-v haben, also f über Q(v) dann in f = (x-c)(x+v)(x-v) zerfallen. Dann wäre K = Q(v) der Zerfällungskörper vom Grad 2 über Q, denn g ist über Q irreduzibel und damit das Minimalpolynom von v von Grad 2.
Beides im Widerspruch zu [K : Q] = 3.
Damit darf f keine rationale Nullstelle haben und ist über Q damit auch irreduzibel.
Nun wissen wir, dass f als kubisches Polynom mindestens eine reelle Nullstelle hat. Sei p diese reelle Nullstelle, dann zerfällt f über Q(p) in f = (x-p) h mit h in Q(p)[x] quadratisch. Da aber der Zerfällungskörper K den Grad 3 über Q hat, folgt K = Q(p), denn es gilt ja auch, dass [Q(p) : Q] = 3, denn f ist über Q irreduzibel. Da p reell ist, ist damit auch K = Q(p) in R und somit zerfällt also f über R vollständig in Linearfaktoren. qed.
Frage: Ist das richtig?
LG.
