Modellieren Sie den stochastischen Prozess (Yn)n≥0 ¨ als Markovkette; geben Sie dazu die Startverteilung und die Ü an

Question

Aufgabe:

In einer Buchhandlung stehen am Beginn des Semesters 3 Exemplare eines beliebten EWS-Buchs. Täglich wird mit Wahrscheinlichkeit \( \frac{1}{5} \) genau ein Buch gekauft und mit Wahrscheinlichkeit \( \frac{4}{5} \) kein Buch. Abends inspiziert die Buchhändlerin ihre Regale und bestellt drei neue Exemplare, wenn das EWS-Regal leer ist. Die Lieferung kommt am Abend des nächsten Werktags. Die Anzahlen der Käufer an verschiedenen Tagen sind unabhängig voneinander. Wir bezeichnen mit \( Y_{n} \) die Anzahl der EWS-Bücher im Laden am Abend des \( n \)-ten Tages. Modellieren Sie den stochastischen Prozess \( \left(Y_{n}\right)_{n \geq 0} \) als Markovkette; geben Sie dazu die Startverteilung und die Übergangsmatrix an.

Problem/Ansatz:

Hallöchen zusammen,

ich sitze aktuell an dieser Aufgabe.

Ich denke die Startverteilung sieht wie folgt aus: (0,0,0,1).

Bei der Übergangsmatrix bin ich mir jedoch unsicher. Ich habe zwei Idee, weiß jedoch nicht welche richtig ist.

\( \left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{4}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{4}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5}\end{array}\right) \)

Über Tipps und Antworten würde ich mich sehr freuen!

Liebe Grüße

Comments

Gib an was die Spalten der Matrix bedeuten.

Gib an was die Zeilen der Matrix bedeuten.

Gib an was die Einträge der Startverteilung bedeuten.

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Okay…..

Ist denn eine von den Matrizen richtig?

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Das kommt darauf an, was die Spalten der Matrix bedeuten, was die Zeilen der Matrix bedeuten und was die Einträge der Startverteilung bedeuten.

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Also…

Die Spalten zeigen die möglichen Zustände Yn (Anzahl der Bücher am Ende des nächsten Tages), in die der Prozess übergehen kann.

Die Zeilen zeige die möglichen Startzustände  (Anzahl der Bücher am Ende des aktuellen Tages), aus denen der Prozess startet.

Die Einträge der Startverteilung geben die Wahrscheinlichkeiten an, mit denen der Prozess zu Beginn in einem bestimmten Zustand.

Answer 1

Die Spalten zeigen die möglichen Zustände Yn ...

\(Y_n\) ist kein Zustand. \(Y_n\) ist eine Zufallsgröße, die die Anzahl der Bücher am Abend des \( n \)-ten Tages angibt.

Es gibt unendlich viele mögliche Werte für \(n\). Würdest du die \(Y_n\) als Zustände verwenden, dann bräuchtest du unendlich viele Spalten und Zeilen.

Nimm stattdessen die Werte, die die \(Y_n\) haben können, als Zustände.

Genauer gesagt, die Zeile \(n\) gibt an, dass sich \(4-n\) Exemplare des EWS-Buchs am Ende des aktuellen Tages in der Buchhandlung befinden.

Die Spalte \(n\) sollte dann angeben, dass sich \(4-n\) Exemplare des EWS-Buchs am Ende des folgenden Tages in der Buchhandlung befinden.

Dann sieht die Matrix so aus:

\( \begin{pmatrix} \frac{4}{5}&\frac{1}{5}&\dots\\ 0&\frac{4}{5}&\dots\\ \vdots&\vdots&\ddots \end{pmatrix} \)

Die erste Zeile besagt: Wenn sich \(4-1=3\) Exemplare des EWS-Buchs am Ende eines Tages in der Buchhandlung befinden, dann befinden sich am Ende des folgenden Tages

• mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac{4}{5}\) ebenfalls drei Exemplare in der Buchhandlung
• mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{5}\) nur noch \(4-2=2\) Exemplare in der Buchhandlung.

Die zweite Zeile besagt: Wenn sich \(4-2=2\) Exemplare des EWS-Buchs am Ende eines Tages in der Buchhandlung befinden, dann befinden sich am Ende des folgenden Tages

• mit einer Wahrscheinlichkeit von \(0\) drei Exemplare in der Buchhandlung
• mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac{4}{5}\) ebenfalls zwei Exemplare in der Buchhandlung.

Answer 2

Startverteilung mit

$$\vec v_0 =\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

hätte ich genauso gemacht. Die Übergangsmatrix sieht bei mir wie folgt aus

$$M = \begin{pmatrix} 0 & 1/5 & 0 & 0 \\ 0 & 4/5 & 1/5 & 0 \\ 0 & 0 & 4/5 & 1/5 \\ 1 & 0 & 0 & 4/5 \end{pmatrix}$$

Comments

Deine zweite Matrix ist die transponierte von meiner und könnte damit auch richtig sein. Du rechnest dann nur nicht

$$\vec v_{n+1} = M \cdot \vec v_n$$