Wirtschaftsstatistik Anpassungs- und Verteilungstest

Question

Aufgabe:

Bei einer Gruppe von 2100 Personen wurde das Gewicht bestimmt. Dabei wurden folgende Zahlen festgestellt:

Testen Sie die Hypothese, dass die Verteilung einer Normalverteilung entspricht.

Problem/Ansatz:

Das Thema sind Anpassungs- und Verteilungstests. Meine Frage ist nun, wie berechne ich p. Dieses brauche ich ja um die erwartete Verteilung E(ni) zu berechnen.

Comments

Wie willst Du es denn testen? Chiquadrat?

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Ja genau. Chi Quadrat Test

Answer 1

Berechne anhand der Daten \(\mu\) und \(\sigma\). Das sind dann die Parameter für die Normalverteilung, auf die du testen möchtest.

Die erwartete Häufigkeit kannst du dann für jede Klasse berechnen über

\(p_1=P(55\leq X< 60)=P(\frac{55-\mu}{\sigma}\leq Z<\frac{60-\mu}{\sigma})=\Phi(\frac{60-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{55-\mu}{\sigma})\),

wobei \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\) standardnormalverteilt ist.

Es gilt dann \(E(n_i)=p_i\cdot N\) mit \(N=2100\) als erwartete Häufigkeit.

Comments

Okay, also ich kann nicht einfach p=1/7 nehmen da in der Aufgabe normalverteilt steht.

Kommen für den Mittelwert 70,92 kg und für die Standardabweichung 6,7kg raus?

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Genau, du möchtest ja auf eine bestimmte Verteilung testen, also musst du auch die erwarteten Häufigkeiten von dieser Verteilung nehmen.

Ich erhalte \(\mu\approx 71,4\) und \(\sigma\approx 6,7\).

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Okay, vielen Dank! Also soweit bin ich nun gekommen.

Wie berechne ich nun die Grenzen ohne ein alpha?

Text erkannt:

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline & & \\
\hline\( n_{i} \) & \( p \) & \( E\left(n_{i}\right) \) & \( \frac{\left(n_{i}-E\left(n_{i}\right)\right)^{2}}{E\left(n_{i}\right)} \) \\
\hline 91 & 0,0425 & 94,82 & \( \frac{1342}{8475}=0,16189 \) \\
\hline 228 & 0,1238 & 259,88 & 3,933843 \\
\hline 607 & 0,247 & 51817 & 15,032 \\
\hline 530 & 0,2865 & 601,65 & 8,5327 \\
\hline 462 & 0,1944 & \( \underline{408,24} \) & 7,07951 \\
\hline 118 & 0,0787 & 165127 & 13,52 \\
\hline 64 & 0,0186 & 39,06 & 15,924 \\
\hline
\end{tabular}
\( \begin{array}{l} x^{2}=z=64,184 \\ P(z \leq c)= \end{array} \)

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Für die \(\chi^2\)-Verteilung gibt es auch entsprechende Tabellen.

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Ja, aber für diese brauche ich doch ein p.

Mein f=6 aber was ist mein p? Wir hatten davor immer ein Alpha gegeben

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Üblich ist sowas wie \(\alpha=5\,\%\).

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Stimmt meine Rechnung aber bisher?

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Für das erste \(p\) bekomme ich \(0,03724\). Vergleiche: https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

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Was stimmt bei meiner Rechnung dann nicht ?

Text erkannt:

Normalverkilung: wahrscheinlichleit, dass zufällige Person Gewient in diesem Bereich hat
l)
\( \begin{aligned} P(55 \leqslant x \leqslant 59,90) & =P(x \leq 59,98)-P(x \leqslant 50) \\ & =\phi\left(\frac{59,90-7444}{6,68}\right)-\left(\frac{50-7144}{668}\right) \\ & =\phi(-1,714)-\phi(-3,2096) \\ & =(1-\phi(1,714))-(1-\phi(3,20966) \\ & =1-0,9568-1-0,9893 \\ & =0,0425 \end{aligned} \)

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Du rechnest \(-P(X\leq 50)\) und nicht \(-P(X\leq 55)\).

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Ups, vielen vielen Dank! Sie retten meine Klausur

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Das sind Flüchtigkeitsfehler. ;)

Answer 2

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht einer Person in einer bestimmten Klasse liegt, berechnet man als absolute Häufigkeit dieser Klasse dividert durch 2100.

Comments

Für die erste Klasse dann 91/2100 ?

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Ja, denn dort steht 91.

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Aber wenn wir für die erste Klasse p berechnen : p1=91/2100. dann kriegen wir 0,43.

Aber um E(ni) zu erhalten rechne ich doch p mal G. Dann erhalte ich wieder 91. Obwohl sich E(ni) und ni unterscheiden müssen

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Bist Du sicher, beobachtete und erwartete Häufigkeit nicht zu verwechseln?

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Die angegebene Häufigkeit ist doch n oder nicht? Wie berechne ich dann die erwartete Häufigkeit

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So wie das Apfelmännchen es aufgeschrieben hat, könnte man es machen.

Answer 3

1. Zunächst bestimmst du die Parameter der vermuteten Normalverteilung aus den gegebenen Daten.

2. Dann ermittelst du die Erwartungswerte für die einzelnen Klassen über die Normalverteilung mit deinen Parametern.

3. Dann wendest du den X²-Test an.