Unterschiedlicher Lösungsweg bei Umwandlung in Polarkoordinaten

Question

Hallo Zusammen,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, ob mein eigener Rechenweg ebenfalls generell richtig ist oder ob er nur in diesem Fall funktioniert hätte.

Es geht um die Aufgabe

(x^2 + y^2) = x * y

Quelle:

Quelle: Lothar Kusch, Heinz Jung, Karlheinz Rüdiger: Kusch Mathematik 3 - Differentialrechnung Aufgabensammlung und Lösungen, Auflage 9, 1995, Berlin, Cornelsen Verlag, Seite 73, Aufgabe 9

Die Lösung ist für mich nachvollziehbar, aber ich habe mit dem Lösungsweg aus dem Buch so meine Probleme. Das Umstellen der Aufgabegabe in Polarkoordinaten bereitet mir keine Probleme. Bis zum nachfolgenden Schritt ist meine Lösung identisch mit dem Buch:

[[F(φ)]^2 * cos^2(φ) + [F(φ)]^2 * sin^2(φ)]^2 = [F(φ)]^2 * cos(φ) * sin(φ)

Ab hier kommt die Abweichung vom Rechenweg aus dem Buch. Im Buch wir angemerkt, dass [F(φ)]^2 = 0 ist. Hierdurch fällt [F(φ)]^2 auf der rechten Seite weg und der übrige rechte Term wird auf die linke Seite mittel -(cos(φ) *  sin(φ)). verschoben. Zusätzlich wird [F(φ)]^2 aus der Klammer der Linken Seite gezogen und in [F(φ)]^2 * [F(φ)]^2 umgewandelt. Anschließend kann die Klammer einfach aufgelöst werden das cos^2(φ) +  sind^2(φ) = 1 ist. Somit sieht die Gleichung wie folgt aus:

[F(φ)]^2 * [F(φ)]^2 - cos(φ) * sin(φ) = 0

Wegen das Additions-Theorems wird aus cos(φ) * sin(φ) ↦ 0,5 * sin(2φ) und der Term 0,5 * sin(2φ) wird wieder zurück auf die rechte Seite verschoben. Dabei fällt ein [F(φ)]^2 weg (warum auch immer und warum nicht beide) und die Wurzel wird gezogen.

[F(φ)] = \( \sqrt{0,5 * sin(2φ)} \)

Dies ist die Lösung aus dem Buch. Meine Lösung wäre wie folgt gewesen:

[[F(φ)]^2 * cos^2(φ) + [F(φ)]^2 * sin^2(φ)]^2 = [F(φ)]^2 * cos(φ) * sin(φ)

Ich ziehe ebenfalls [F(φ)]^2 aus der Klammer und erhalte [F(φ)]^4.

F(φ)]^4 * [cos^2(φ) + sin^2(φ)]^2 = [F(φ)]^2 * cos(φ) * sin(φ)

Nun teile ich auf beiden Seiten durch [F(φ)]^2 und erhalte

F(φ)]^2 * [cos^2(φ) + sin^2(φ)]^2 = cos(φ) * sin(φ)

Jetzt wird aus cos^2(φ) + sin^2(φ) = 1

F(φ)]^2 * [1]^2 = cos(φ) * sin(φ)

Und aus cos(φ) * sin(φ) = 0,5 * sin(2φ)

F(φ)]^2 * [1]^2 = 0,5 * sin(2φ)

Aus 1^2 wird 1 und dies mal F(φ)]^2 wird zu F(φ)]^2

F(φ)]^2 = 0,5 * sin(2φ)

Zum Schluss noch die Wurzel und das Ergebnis entspricht dem Buch.

[F(φ)] = \( \sqrt{0,5 * sin(2φ)} \)

Habe ich hier etwas falsch gemacht oder falsch angewendet und trotzdem auf das Ergebnis gekommen? Hinzu muss ich noch anmerken, dass die das Additions-Theorem hätte ich aus Unwissenheit nicht angewendet und auch auf F(φ)]^2 = 0 wäre ich nicht gekommen.

Comments

Die Buchlösung oder Deine Abschrift enthält-wohl- Druckfehler. Was die Sache mit der 0 angeht, dann sollte da wohl so etwas stehen wie: Eine triviale Lösung ist F=0. Wenn F ungleich 0, kann man F^2 kürzen.

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Wie lautet denn die vollständige Aufgabenstellung? Das obige ist ja nur eine Gleichung.

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Hallo nudger,

die folgende Aufgabenstellung lautet: "Ermitteln Sie jeweils den Definitionsbereich der nachstehenden implizit definierten Funktionen oder Relationen. Zeichnen Sie jeweils Graphen, gegebenenfalls nach Transformation in eine Polarkoordinatendarstellung oder in eine Parameterdarstellung."

Der komplette Lösungsweg der Aufgabe sieht wie folgt aus:

(x^2 + y^2)^2 = x * y

[[F(φ)]^2 * cos^2(φ) + [F(φ)]^2 * sin^2(φ)]^2 = [F(φ)] * cos(φ) * [F(φ)] * sin(φ)

[[F(φ)]^2 * cos^2(φ) + [F(φ)]^2 * sin^2(φ)]^2 = [F(φ)]^2 * cos(φ) * sin(φ)

[F(φ)]^4 = [F(φ)]^2 * cos(φ) * sin(φ)

[F(φ)]^2 * [[F(φ)]^2 - cos(φ) * sin(φ)]  = 0

⇒ [F(φ)]^2 = 0 oder [[F(φ)]^2 - cos(φ) * sin(φ)] = 0

[F(φ)]^2 - cos(φ) * sin(φ) = 0

[F(φ)]^2 - cos(φ) * sin(φ) ⇒ cos(φ) * sin(φ) = 0,5 * sin(2φ)

|F(φ)| = \( \sqrt{0,5 * sin(2φ)} \)

Im Buch gibt es zu der Aufgabe noch folgende Bemerkung: " [F(φ)]^2 = 0 bedeutet, F(φ) = 0 für alle φ∈[0;360). Hierdurch wird lediglich der Punkt P<0|0> beschrieben. Da aber auf dem Graphen der gegebenen Relation auch der Punkt Q<\( \frac{1}{2} \)|\( \frac{1}{2} \> liegt, kann F(φ) = 0 für alle φ∈[0;360) nicht die gegebene Relation darstellen."

Answer 1

Deine Lösung ist richtig. In der Aufgabenstellung fehlt wohl übrigens links noch ein Quadrat. Man muß auch noch den Bereich für Φ angeben, wo sin positiv ist, um die Wurzel ziehen zu können, [F(φ)] ist ja auch immer nicht-negativ.

Die Buchlösung ist mir unverständlich. Wenn [F(φ)]²

Null wäre, würde es auf beiden Seiten wegfallen…

PS. Üblicherweise verwendet man r statt F(Φ), und natürlich ist  immer x² + y² = r²

Comments

Hallo Jumanji,

du hast recht. Beim abschreiben der Aufgabenstellung ist mir ein Quadrat verloren gegangen. Die korrekte Aufgabe lautet:

(x^2 + y^2)^2 = x * y

Dass man für [F(φ)] auch r bzw. [F(φ)]^2 auch r^2 schreiben kann, ist mir bekannt. Jedoch wurde es in dieser Aufgabe, wie oben beschrieben, so angegeben und ich habe es einfach übernommen. :-)

Bis auf den Rechenweg ist die Aufgabe für mich verständlich und logisch. Aber ich kann mir einfach nicht erklären, wie das [F(φ)]^2 auf die linke Seite gekommen ist. Es scheint irgendwie mit der Bemerkung zusammenzuhängen, die ich nudger in den Kommentar geschrieben habe. Aber selbst dann ist der Rechenschritt für mich nicht klar.

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Ah, Ich denke, jetzt verstehe ich.

Es werden nur zwei Fälle unterschieden, denn durch Null darf man nicht teilen. Der Fall F=0 kann ausgeschlossen werden, also ist F ungleich Null und man darf dividieren. Das ist alles…

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Davon bin ich auch ausgegangen. Ich verstehe nur nicht, wie man von

[F(φ)]4 = [F(φ)]2 * cos(φ) * sin(φ)

nach hier kommt

[F(φ)]2 * [[F(φ)]2 - cos(φ) * sin(φ)]  = 0

Es ist doch eine Gleichung und ich kann die rechte Seite doch nicht einfach auf die linke Seite verschieben, ohne eine Rechenoperation. So wie oben der Term steht, kann ich die komplette rechte Seite nur mit einer Subtraktion auf die linke Seite bringen. Und [F(φ)]2 nur mit einer Division. Letzteres habe ich bei meiner Version angewandt, die zum korrekten Ergebnis führt.

Noch verwirrender wird es für mich, da in der nachfolgenden Zeile cos(φ) * sin(φ) wieder zurück auf die rechte Seite via Rechenoperation (Addition) geschrieben wird.

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Man hat alles auf eine Seite gebracht, dann F² 

ausgeklammert, dann das Produkt untersucht wann es Null wird, und dann die zweite Klammer Null gesetzt und wieder umgeformt.

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Stichwort: Satz vom Nullprodukt.

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Aber mit welcher Rechenoperation? Es wäre doch nur mit einer Subtraktion des gesamten rechten Terms gegangen. Ansonsten gäbe es nur eine Möglichkeit und die wäre aus erklärungstechnischer Sicht etwas unvorteilhaft:

[F(φ)]4 = [F(φ)]2 * cos(φ) * sin(φ)                           ⇒ Aus [F(φ)]2 wird 0

[F(φ)]4 = 0 * ( cos(φ) * sin(φ)) =  cos(φ) * sin(φ)    ⇒ [F(φ)]4 = [F(φ)]2 * [F(φ)]2

[F(φ)]2 * [F(φ)]2 = cos(φ) * sin(φ)                          | - (cos(φ) * sin(φ))

[F(φ)]2 * [F(φ)]2 - (cos(φ) * sin(φ)) = 0 

Nur so kann ich mir den Rechenweg aus dem Buch erklären. Alles andere ist mehr als verwirrend und unlogisch.

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Aus [F(φ)]^2 wird 0

Wird es an dieser Stelle eben nicht.

[F(φ)]^2 * [[F(φ)]^2 - cos(φ) * sin(φ)]  = 0

⇒ [F(φ)]^2 = 0 oder [[F(φ)]^2 - cos(φ) * sin(φ)] = 0

Erst dort tritt die Folgerung auf. Nochmal: Satz vom Nullprodukt.

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Nein, es ist ganz einfach

x⁴ = x² (a*b)

x⁴ - x² (a*b) = 0

x²  (x²  - a*b) = 0

Einfach nur ausklammern, Multipliziere die Klammer einfach wieder aus, dann steht da dasselbe wie vorher…