Problem bei der Umwandlung einer Funktion in Polarkoordinatendarstellung

Question

Hallo Zusammen,

ich habe zu einer Aufgabe bzw. zu einem Aufgabentypus in Übungsbuch "Kusch Mathematik 3" eine Verständnisfrage. Dort gibt es bei ein paar Übungen und deren Lösungen einen Lösungsweg, auf die im Lehrbuch nicht eingegangen wird und deren Beschreibung im Lösungsbuch nur noch mehr Fragen aufgeworfen hat.

Quelle:

Lothar Kusch, Heinz Jung, Karlheinz Rüdiger: Kusch Mathematik 3 - Differentialrechnung Aufgabensammlung und Lösungen, Auflage 9, 1995, Berlin, Cornelsen Verlag, Seite 63, Aufgabe 15

Aufgabe:

Funktionen in Polarkoordinatendarstellung

R(x) = ± x * \( \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \)

Problem/Ansatz:

Bei der Lösungsbeschreibung der Aufgabe beginnt mein Problem an der Stelle, mit dem Term in der eckigen Klammer und der dazugehörigen Beschreibung auf der linken Seite.

F(φ) * [ sin φ  ± cos φ * \( \sqrt{\frac{4 + F(φ) * cos φ}{4 - F(φ) * cos φ}} \) ] = 0

Mein Problem ist, warum wurde bei dieser Gleichung F(φ) ausgeklammert? In der Begründung steht, wenn F(φ) = 0 für alle φ ∈ [0°; 360°] ist, dann wäre lediglich der Punkt (0 / 0) beschrieben. Da der dazugehörige Graph aber auch weitere Punkte z.B. Q(2 / 2 \( \sqrt{3} \)) beinhaltet, kann F(φ) die angegebene Relation nicht darstellen. Meinem Verständnis nach müsste dies aber doch bei allen anderen Funktion auch so sein. Oder?

Ich kann auch nicht nachvollziehen, warum bei der restlichen Lösungsbeschreibung auf das ausgeklammerte F(φ) nicht weiter eingegangen wird. Ebenfalls verstehe ich auch nicht, wie und warum sin φ in die eckige Klammer gekommen ist.

Sehr wahrscheinlich gibt es hierzu wieder eine ganz einfache Begründung, aber aktuell sehe oder verstehe ich sie einfach nicht. Mir ist auch aufgefallen, dass das Verfahren bei diesem Aufgaben anscheinend immer angewandt wird, wenn quadratische Wurzel und ± in der Gleichung vor kommt. In diesem Fall scheint der Teil

F(φ) = 0

und der Teil

sin φ  ± cos φ * \( \sqrt{\frac{4 + F(φ) * cos φ}{4 - F(φ) * cos φ}} \) = 0

als getrennte Gleichungen betrachtet zu werden.

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe. Es tut mir auch sehr leid, wenn ich so umständlich schreibe.

Viele Grüße

Thorsten

Comments

Ich habe das Buch nicht und aus Deinen Angaben geht die Aufgabenstellung nicht hervor. Poste also die vollständige Aufgabenstellung mit allen Angaben, im Original (keine Stichworte).

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Hallo nudger,

vielen Dank für deine sehr schnelle Antwort. Die Aufgabenstellung ist wie folgt:

Transformieren Sie die angegebene Relation R(x) in Polarkoordinaten, ermitteln sie jeweils den Definitionsbereich D(R) und zeichnen Sie den entsprechenden Graphen.

R(x) = ± x * \( \sqrt{\frac{x + 4}{x - 4}} \)

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Hallo Thorsten,

noch ein Hinweis: obige Gleichung lässt sich recht stark vereinfachen. Eine einfache Variante ist:$$F(\varphi) = \frac{-4}{\cos\left(2\varphi\right)\cos\left(\varphi\right)}$$versuche die Umformung mal selber ;-)

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Hallo @Werner-Salomon,

vielen Dank für den Tipp. Ich werde mich heute Abend noch einmal an die Aufgabe machen und hoffe, dass ich auf das Ergebnis ohne das Lösungsbuch komme. Trotzdem habe ich einen kleinen Spickzettel für die Additionstheoreme und ein paar andere Infos. Andernfalls würde ich hier und da andere Probleme bekommen. :-)

Viele Grüße

Thorsten

Answer 1

Wenn man ein Produkt hat welches Null ist, kann man den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Ein Produkt A * B ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird.

Daher wird der Faktor F(φ) hier ausgeklammert und dann getrennt beide Faktoren gleich Null gesetzt.

F(φ) ist ja einfach der Abstand des Punktes vom Ursprung für einen beliebigen Winkel. Und wie gesagt wenn der Abstand 0 für alle Winkel ist, dann ist das nur der Ursprung. Alle anderen Punkte bekommt man dann über den zweiten Faktor (die Klammer).

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Hallo @Der_Mathecoach,

vielen Dank für deine schnelle Antwort. Der Satz vom Nullprodukt war mir ein Begriff, aber ich verstehe die Anwendung in diesem Fall nicht so recht. Ich versuche einfach mal meinen Gedankengang darzustellen, vielleicht wird mein Problem dann verständlicher.

Kurz vor meinem Problem haben wir folgende Ausgangssituation:

F(φ) * sin φ = ± F(φ) cos φ * \( \sqrt{\frac{4 + F(φ) * cos φ}{4 - F(φ) * cos φ}} \)

Damit die Gleichung = 0 gesetzt werden kann, hole ich den Term auf der rechten Seite auf die Linke Seite, klammere F(φ) aus und erhalte folgende Gleichung:

F(φ) * [ sin φ ± F(φ) cos φ * \( \sqrt{\frac{4 + F(φ) * cos φ}{4 - F(φ) * cos φ}} \) ]

Und während ich die Aufgabe gerade schreibe, sehe ich auch schon meinen peinlichen Denkfehler. :-)

Ich habe das erste F(φ) auf der rechten Seite ( ± F(φ) cos φ) der Gleichung übersehen, das ausgeklammert wird und war davon ausgegangen, dass die Gleichung

F(φ) * sin φ [ ± F(φ) cos φ * \( \sqrt{\frac{4 + F(φ) * cos φ}{4 - F(φ) * cos φ}} \) ]

heißen müsste. In diesem Fall würde Punkt vor Strichrechnung greifen und F(φ) = 0 macht keinen Sinn, da F(φ) * sin φ nicht in allen Fällen = 0 sein kann. Durch die Ausklammerung von F(φ) geht sin φ aber in die Klammer und somit passt dann auch der Satz vom Nullprodukt.

Ich kann nur noch mal vielen....vielen....lieben Dank sagen. Es hilft, manchmal sich einfach nur mit jemandem auszutauschen, um den eigenen dummen Fehler zu finden.

Ich bin so unendlich dankbar. :-)

Viele Grüße,

Thorsten

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Du hattest auch noch die Null auf der rechten Seite vergessen.

$$F(φ) \cdot sin φ = ± F(φ) \cdot cos φ \cdot \sqrt{\frac{4 + F(φ) \cdot cos φ}{4 - F(φ) \cdot cos φ}} \newline F(φ) \cdot sin φ ± F(φ) \cdot cos φ \cdot \sqrt{\frac{4 + F(φ) \cdot cos φ}{4 - F(φ) \cdot cos φ}} = 0\newline F(φ) \cdot \left(sin φ ± cos φ \cdot \sqrt{\frac{4 + F(φ) \cdot cos φ}{4 - F(φ) \cdot cos φ}} \right)= 0$$

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Vielen lieben Dank für den Tipp. :-) Die Null ist mir heute Morgen beim aufschreiben untergegangen. Ich hatte mich so sehr gefreut, dass ich es endlich verstanden hatte und habe einen Flüchtigkeitsfehler gemacht. Kommt hoffentlich nicht mehr vor. :-)

Answer 2

Vielleicht hilft dir zum Verständnis der Satz vom Produkt:

Wenn \( a \cdot b =0 \), so ist entweder \( a=0 \) oder \( b=0 \).

Das hat man sich hier zu Nutze gemacht und deswegen \( F(\varphi) \) ausgeklammert, um ein Nullprodukt zu haben. Zum Fall \( F(\varphi)=0 \) wurde ja dann schon alles gesagt, weshalb er nicht weiter beachtet werden muss.

Reicht dir das schon als Hilfe? Sonst schaue ich später selbst nochmal ins Buch.

Comments

Hallo @Apfelmännchen,

vielen lieben Dank für deine schnelle Antwort. Ich hatte gerade bereits @Der_Mathecoach geantwortet. Der Satz vom Nullprodukt war mir ein Begriff, da ich jedoch bei der Gleichung einen großen und peinlichen Fehler gemacht habe (siehe Kommetar @Der_Mathecoach), konnte ich den Satz vom Nullprodukt nicht sinnvoll anwenden und auch die Beschreibung im Buch hatte in dieser Situation keinen Sinn mehr ergeben. Erst als ich im Kommentar meinen Gedankengang beschrieben habe, bin ich auf meinen eigenen Fehler aufmerksam geworden. Ich habe wieder den Wald vor lautet Bäumen gesehen. :-)

Ich möchte mich sehr bei dir für deine Hilfe bedanken.

Ganz liebe Grüße

Thorsten