Gegeben sei die \( 2 \pi \)-periodische Funktion \( f \) mit
\( f(t)=\left\{\begin{array}{lll} \alpha & \text { für } & t \in[0, \pi), \\ 0 & \text { für } & t \in[\pi, 2 \pi) . \end{array}\right. \)
Aufgabe: die Werte der Integrale \( c_{k}(f)=\frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k t} \mathrm{~d} t \) für \( k \in \mathbb{Z} \). zu berechnen
Mein Ansatz hier wäre zunächst a_{0}, a_{k}, b_{k} zu berechnen. Aber weiß ab da leider nicht weiter
\( a_{0}=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} f(t) d t=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} \alpha d t+\frac{1}{\pi} \int \limits_{\pi}^{2 \pi} 0 d t \)
\( a_{k}=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} \cos (k t) f(t) d t=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} \cos (k t) \cdot \alpha d t+\frac{1}{\pi} \int \limits_{\pi}^{2 \pi} \cos (k t) \cdot 0 d t \)
\( b_{k}=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} \sin (k t) f(t) d t=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} \sin (k t) \cdot \alpha d t+\frac{1}{\pi} \int \limits_{\pi}^{2 \pi} \sin (k t) \cdot 0 d t \)