Integralwerte einer Funktion berechnen

Question

Gegeben sei die \( 2 \pi \)-periodische Funktion \( f \) mit

\( f(t)=\left\{\begin{array}{lll} \alpha & \text { für } & t \in[0, \pi), \\ 0 & \text { für } & t \in[\pi, 2 \pi) . \end{array}\right. \)

Aufgabe:  die Werte der Integrale \( c_{k}(f)=\frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k t} \mathrm{~d} t \) für \( k \in \mathbb{Z} \). zu berechnen

Mein Ansatz hier wäre zunächst a_{0}, a_{k}, b_{k} zu berechnen. Aber weiß ab da leider nicht weiter

\( a_{0}=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} f(t) d t=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} \alpha d t+\frac{1}{\pi} \int \limits_{\pi}^{2 \pi} 0 d t \)

\( a_{k}=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} \cos (k t) f(t) d t=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} \cos (k t) \cdot \alpha d t+\frac{1}{\pi} \int \limits_{\pi}^{2 \pi} \cos (k t) \cdot 0 d t \)

\( b_{k}=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} \sin (k t) f(t) d t=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} \sin (k t) \cdot \alpha d t+\frac{1}{\pi} \int \limits_{\pi}^{2 \pi} \sin (k t) \cdot 0 d t \)

Comments

Du hast diese Frage schon einmal gestellt- mit 1 statt a- .

Warum ignorierst Du die Antwort?

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Ach, und das hab sogar ich beantwortet... naja, nach nem 3/4 Jahr vergisst man schonmal was...

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Damals warst Du noch optimistisch im Hinblick auf die Selbständigkeit des FS?

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Da ich die FS nicht kenne, hab ich da keine Erwartung, sondern helfe beim Anfang und warte ab, ob das reicht oder Nachfragen kommen. Da der FS ja zwischenzeitlich Laurent-Reihen gerechnet hat (versucht hat zu rechnen), ist verwunderlich, warum sowas nun schwierig sein soll.

Answer 1

Wenn Du umständliche Lösungen bevorzugst, kannst Du das so machen.

Einfacher ist es, Du rechnest direkt das aus, was da steht, das geht nämlich fast im Kopf:

\(c_k=\frac1{2\pi}\int\limits_0^\pi \alpha e^{-ikt}\, dt =\frac\alpha{-2\pi ik}(e^{-ik\pi}-1)=\frac\alpha{-2\pi ik}((-1)^k-1)\).

Den Bruch am Anfang kann man noch vereinfachen, das schaffst Du sicher selbst.

Comments

danke dir, ich bin mir unsicher bei diesem Aufgabentyp weil jeder Tutor und Prof es anders macht.

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Wieso? Du sollst es doch rechnen, nicht Dein Prof oder Tutor. Wenn Dein Ergebnis stimmt, ist alles ok.

Und was günstiger ist (ob mit \(c_k\) oder \(a_k,b_k\)), hängt von \(f\) ab. Das lernt man aber nicht, indem man wartet bis Prof/Tutor es vorrechnet, sondern indem man selbst loslegt.

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Wenn die Aufgabenstellung "Berechne die Fourier Reihe" wäre stattdessen, müsste ich  nur die folgende Formel anwenden und bräuchte den ck Koeffizienten nicht oder?

\( f(x) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(a_{k} \cos (k x)+b_{k} \sin (k x)\right) \)

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Das Zauberwort heißt "ausprobieren"! Mach einfach. Es gibt mehrere Wege. Rechne beide Wege.