Die Kurvengleichung in Polarkoordinaten ist?

Question

Aufgabe: Integral mit Hilfe von Polarkoordinaten bestimmen.

Problem/Ansatz: Wenn ich x und y durch die Polarkoordinaten ersetze,ist mir nicht klar,wie man auf die rechte Seite kommt(rot umkreist).r hoch 4 ist mir klar,bekomme

Text erkannt:

Lösung:
(a) Verwende Polarkoordinaten: \( x=r \cdot \cos (\varphi), y=r \cdot \sin (\varphi), \mathrm{d}(x, y)=r \mathrm{~d}(r, \varphi) \).
Schaubild der (ebenen) Kurve \( \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}+3 \cdot y^{2} \)
Die Kurvengleichung in Polarkoordinaten ist ?
\( \left.\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}+3 \cdot y^{2} \Longleftrightarrow r^{4}=r^{2}+2 \cdot r^{2} \cdot \sin ^{2}(\varphi) \Longleftrightarrow r^{2}=1+2 \cdot \sin ^{2}(\varphi) \text { (falls } r \neq 0\right) . \)
Es folgt

ich ja durch die Kreisgleichung.

Answer 1

\(\begin{aligned} x^{2}+3\cdot y^{2} & =\left(r\cdot\cos(\varphi)\right)^{2}+3\cdot\left(r\cdot\sin(\varphi)\right)^{2}\\ & =r^{2}\cdot\cos^{2}(\varphi)+3\cdot r^{2}\cdot\sin^{2}(\varphi)\\ & =r^{2}\cdot\cos^{2}(\varphi)+r^{2}\cdot\sin^{2}(\varphi)+2\cdot r^{2}\cdot\sin^{2}(\varphi)\\ & =r^{2}\cdot\left(\cos^{2}(\varphi)+\sin^{2}(\varphi)\right)+2\cdot r^{2}\cdot\sin^{2}(\varphi) \end{aligned}\)