Aufgabe:
Folgende Aufgabe. Ich versteh nicht woher das rot markierte kommt. Wie komme ich darauf?
Text erkannt:
48. Berechnen Sie das Volumen einer Halbkugel (Radius \( R=4 \mathrm{~cm} \) ) mit zentrischer Bohrung (Radius \( a=1 \mathrm{~cm} \) ).
Ergebnis: \( 121.67 \mathrm{~cm}^{3} \)
Text erkannt:
\( \begin{array}{rlrl} V & =\int \limits_{Q} r(x, y) d A \\ & =\int \limits_{a}^{R} \int \limits_{0}^{2 n} \sqrt{R^{2}-r^{2}} r d y d r & 2 \pi \cdot \int \limits_{a}^{R} \sqrt{R^{2}-r^{2}} r d r \\ & =\int \limits_{a}^{R} \sqrt{R^{2}-r^{2}} r d r \cdot \int \limits_{0}^{2} 0 d u & \\ & =\int \limits_{a}^{R} \sqrt{R^{2} r^{2}} r d r \cdot[u]_{0}^{2 \pi} & u=R^{2}-r^{2} & u d=R^{2}-R^{2} \\ & =\int \limits_{a}^{R} \sqrt{R^{2}-r^{2}} r d r \cdot 2 \pi & \frac{d u}{d r}=-2 r & u q=R^{2}-a^{2} \end{array} \)
Neve Grenc
\( \begin{aligned} & =\int \limits_{R^{2}-a^{2}}^{0} \sqrt{U} r \cdot \frac{d U}{-2 T} \cdot 2 \pi \\ & =\int \limits_{R^{2}-a^{2}}^{0} \sqrt{U} \cdot \frac{r}{2 t} d U \cdot 2 \pi \\ & =\int \limits_{R^{2}-a^{2}}^{0} \sqrt{u} \cdot-\frac{1}{2} d U \cdot 2 \pi \\ & =2 \pi \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \int \limits_{R^{2} a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d U=2 \pi \cdot \frac{1}{2}\left[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]_{R^{2}-a^{2}}^{0} \\ & =2 \pi \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{2}{3}\left[U^{\frac{3}{2}}\right]_{R^{2}-a^{2}}^{0}=-\frac{2}{3} \pi\left[U^{\frac{3}{2}}\right]_{R^{2}-a^{2}}^{0} \\ & =-\frac{2}{3} \pi\left(0^{\frac{3}{2}}-\left(R^{2}-a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right) \cdot \frac{2}{3} \pi\left(R^{3}-a^{3}\right) \end{aligned} \)
Lo albemeine Formel
Werte einseteen: \( R=4 \mathrm{~cm}, a=1 \mathrm{~cm} \)
\( V=\frac{2}{3} \pi \quad\left(4^{2}-\Lambda^{1}\right)^{3} \mathrm{~cm}^{3}-121,67 \mathrm{~cm}^{3} \)
