Bestimme eine Matrix A mit Lös(A|0) = V ∩ W.

Question

Wir betrachten folgende Untervektorräume V , W ⊆ R^4.

V:= Lin(v1,v2,v3) mit

V1 = (1,1,0,2)

V2 = (0,3,-2,3)
V3 = (-1,3,3,4)

Und

W:= {x = (x1,x2,x3,x4)^T : 4x_1+3x_2+x_4 = 0}

Bestimme eine Matrix A mit Lös(A|0) = V ∩ W.

Eigentlich bin ich ganz fit in dem Thema gerade aber bei dieser Aufgabe weiß ich wirklich nicht was ich machen soll und wie ich anfangen soll...

Answer 1

Finde eine Matrix B mit Lös(B|0)=W. Das geht ohne Rechnen. Das sollte Dir die richtige Idee geben, von B auf das gesuchte A zu kommen.

Comments

Muss ich vielleicht erst mal Gaus auf v1 v2 v3 anwenden?

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Hast Du meinen Tipp gelesen?

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Ja aber ich werde dadurch leider nicht schlauer.

Lös(B|0)=W

Das heißt also ich muss erstmal die Matrix W bilden und dann auf eine Matrix B|0 Gauss anwenden?

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Du hast die Worte "das geht ohne Rechnen" immer noch nicht gelesen.

Und W ist keine Matrix. Schau Dir die Def. von W an und schreib diese um in Matrix-Schreibweise. Weiterer Tipp: Die Matrix B hat nur eine Zeile.

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Matrix B :

(4 3 4 0 4)

Der Rest Nullzeilen?

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Lies doch die Tipps richtig, ich wiederhole: Die Matrix B hat nur eine Zeile. Was für'n Rest?

Außerdem stimmt das nicht, schau genau hin.

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B = (4 3 0 1)

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Gut. Es geht hier um die orthogonalen Komplemente.

Zu \(V\): Löse das (unterbestimmte) LGS \([a\, b\, c\, d]\cdot v_i=0\) mit \(i=1,2,3\). Dann erhältst Du eine 1dim Lösungsmenge, \([a,\, b,\, c,\, d]=[13,\, 21,\, 6,\, -17]\) und vielfache. \(V\) ist also die Lösungsmenge von \(13x_1+21x_2+6x_3-17x_4=0\).

Kombiniere das mit den obigen Erkenntnissen zu \(W\), um die (eine) gesuchte Matrix \(A\) zu erhalten.