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Aufgabe 3: Eine Serie Überraschungseier enthält durchschnittlich in jedem siebten Ei eine (6 P) besondere Figur. Sie kaufen zehn Überraschungseier. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) sind in genau 5 Eiern besondere Figuren?
b) sind in mindestens 2 Eiern besondere Figuren?
c) Wie viele Überraschungseier müssen Sie mindestens kaufen, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als \( 99 \% \) mindestens ein Ei eine besondere Figur enthalten soll?
\( p \text { (Figur) }=\frac{1}{7} \)
a)
\( \begin{aligned} n & =10, \quad p=\frac{1}{7} \\ f(x) & =\binom{n}{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x} \\ f(5) & =\binom{10}{5} \cdot \frac{1}{7}^{5} \cdot \frac{6}{7}^{5} \\ & =0,006037 \end{aligned} \)
b)
\( \text { b) } \begin{array}{l} F(x \geq 2)=1-F(0)-F(1) \\ \left.=1-\left(\binom{10}{0} \cdot \frac{1}{7}^{0} \cdot \frac{6}{7}^{10}\right)-\left(\binom{10}{1} \cdot \frac{1}{7}^{1}-\frac{6}{7}^{9}\right)\right) \\ =0,429 \\ 1-(P(X=0)) \geq 0,99 \\ 1-\left(\binom{n}{0} \cdot\left(\frac{1}{7}\right)^{0} \cdot\left(\frac{6}{7}\right)^{n}\right) \geq 0,99 \\ \binom{n}{0} \cdot\left(\frac{6}{7}\right)^{n} \geq 0,01 \\ \left(\frac{6}{7}\right)^{n} \geq 0,01 \quad \ln (1) \\ n \cdot \ln \left(\frac{6}{7}\right)>\ln (0,01) \\ n \geq \frac{\ln (0,01)}{\ln \left(\frac{6}{7}\right)} \\ n \geq 29,87 \end{array} \)
